Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
1(х, р)-Sn(X1P) =
оо
= (_ i)»+i j е-ии-р-п-Чи. (5.169)
*
По абсолютной величине
OO
I I(XtP)-Sn (X, P) I < j а-^-Чи <
X
(р+п-1)! 1 /Ч 17т
^ (P-I)I—WT-
Это означает, что при достаточно большом х частичная сумма со сколь угодно хорошим приближением описывает функцию I (х, р). Следовательно, расходящийся ряд (5.167) очень удобен для вычислений. По этой причине его иногда называют полусходящимся рядом. Остаточный член Rn (.X, р) является знакопеременным, поэтому последовательностью частичных сумм задаются попеременно верхняя и нижняя границы для I (*, р). Для р = 1 имеем
OO
^ W-=е* J iHu = -T--^fr-IH- ¦¦ • (5-171>
X
Оценим эту функцию при X = 5. Для данного значения х последовательные верхняя и нижняя границы, определяемые частичными суммами, сначала стремятся к некоторому пределу, а затем начинают расходиться (рис. 5.5). Оптимальное значение е* Ei (х) получается при наибольшем сближении верхней и нижней границ, т. е. для X = 5 оно лежит между S4 = S6 = 0,1664 и S5 — 0,1741. Следовательно, 0,1664 < PxE1 (х) I х=5 < 0,1741. Действительно, табличное 240 ' г Л А В А 5. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
значение PcEl (х) | я=5 = 0,1704 заключено в пределах, установленных асимптотическим разложением. Учет дополнительных членов в разложении сверх установленного оптимума снижает точность представления. По мерс увеличения X разброс между наименьшим и наибольшим
значеннями соответственно верхней и нижней границ уменьшается. Поэтому при достаточно больших х функция ZxEl (х) может быть вычислена с любой требуемой точностью.
Следуя Пуанкаре, запишем
xnRn(x) = xn[f(x)-sn(x)h (5.172)
где
+ + (5.173)
Асимптотическое разложение f(x) обладает свойствами
HmxnRn(x) — 0 при фиксированном /г, (5.174)
х-мхэ ,
IimXnRn(X) = оо при фиксированном х*. (5.175)
П—>00
* Здесь исключены сходящиеся ряды по обратным степеням. Некоторые авторы считают это ограничение искусственным и не необходимым. 5.10. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ИЛИ ПОЛУСХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ 241
При выполнении (5.174) и (5.175) можно записать
OO
f(x) ^ S а„хгп. (5.176)
Tt=U
Подчеркнем, что здесь использован знак приблизительного равенства вместо знака точного равенства. Функция / (*) равна ряду только в предельном случае х -+оо.
Асимптотические разложения двух функций можно перемножать, в результате чего получается асимптотическое разложение произведения этих функций.
Асимптотическое разложение функции f (*) можно интегрировать почленно (точно так же, как и равномерно сходящийся функциональный ряд) в пределах x^.t<oо; результат такого интегрирования будет представлять собой
OO
асимптотическое разложение интеграла j f (t) dt.
X
Почленное дифференцирование асимптотического ряда можно проводить только при выполнении очень специфических условий.
Функция может и не иметь асимптотического разложения, например, е*. Однако если такое разложение существует, то оно единственно, хотя многие функции могут иметь одно и то же асимптотическое представление.
В заключение отметим, что в гл. 7 мы разработаем один из наиболее распространенных и плодотворных методов асимптотического разложения — метод перевала. Вывод формулы Стирлинга в теории гамма-функции (см. разд. 10.3) и асимптотические формулы различных функций Бесселя (см. разд. 11.5) также основаны на асимптотических разложениях.
Упражнения
1. Формула Стирлинга для In (х!) имеет вид
!пИ = !ш2я + (*+І-) In,(2,)? + !)
П— 1
где B2n-числа Бернулли (см. разд. 5.8). Показать, что эта формула представляет собой асимптотическое разложение.
j 6—1257 242
Г Л Л В Л б. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
>
2. Интегрируя по частям, получить асимптотическое представление интегралов Френеля
X X
(*) = J cos du и S (*) = j sin du.
о и
Эти интегралы встречаются в теории дифракции.
3. Получить асимптотическое разложение интеграла ошибок Гаусса
X
г- С,Ч f -t* У* е"*а /, 1 , Ь3 ЬЗ-5, ^
ErfW=Je ?# = -?---+ —-{-...] .
о
Эта функция играет важную роль в теории вероятности. Указание.
OO OO
Er f{x)= j е"'* dt — J e~lidt. O O
4. Излучение абсолютно черного тела в интервале частот О ^v ^ Vo описывается формулой
*0 OO
. , ч Г Xs dx / Г Xs dx
fw=} ^xzn/J то-'
о
где x0 = hv0lkT, Показать, что
/ (*о) = 1 - W+3*о+6*°+6).
Является ли это разложение асимптотическим? ГЛАВА 6
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО I
[аналитические свойства, конформное отображение)
6.1. УСЛОВИЯ КОШИ—РИМАНА
Комплексное число представляет собой упорядоченную пару двух обычных чисел (a, b), или а + ibt где і =
= Y- 1, а комплексная переменная — пару двух J вещественных переменных, расположенных, в определенном порядке:
z = (х, у) = х + іу. (6.1)
Из дальнейшего станет ясно, что в данном случае важен порядок записи и, вообще говоря, а + ib не равно b + ш, а X + іу не равно у + ix.
Довольно часто комплексную переменную представляют в графическом виде. Приняв в качестве абсциссы переменную Xt реальную часть г (обозначается Re z), а в качестве ординаты — переменную у, мнимую часть г (Im z), мы получим комплексную плоскость (рис. 6.1). Если теперь задать определенные значения х и у, то z будет соответствовать точке (xt у) на этой плоскости. Из приведенной диаграммы становится ясным замечание относительно порядка написания комплексного числа, так как точка (х, у), вообще говоря, не совпадает с точкой (уу х). Из рис. 6.1 очевидно, что
