Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
п .
Pn(X) = (X-Xi)(X-X2)... (X-Xn)= П (X-Xi). (5.154)
i=l
Представление sin х, cos х и гамма-функции бесконечным произведением. В большинстве случаев можно ожи- S.9. БЕСКОНЕЧНЫЙ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
дать, что функция, которая имеет бесконечное число корней, представима бесконечным произведением, где каждому корню соответствует один множитель. Действительно, это утверждение выполняется для тригонометрических функций. Существует два очень полезных представления в виде бесконечных произведений
со
sill* = * П (і -да) 1 (5.155а)
п— 1
OO
COS х=П[1- (2 ,.-W] • (5-155б)
11— 1
Наиболее простой и, вероятно, самый изящный вывод этих формул связан с использованием комплексных переменных (см. разд. 7.3). Согласно теореме сходимости, бесконечные произведения (5.155) сходятся для всех конечных значений X. Например, для произведения (5.155а), полагая ап ' X2In2Jt2, получаем
OD OO
(5-156)
п=І ri= і
откуда следует, что произведение (5.155а) сходится. Ряд, соответствующий (5.1556), ведет себя аналогично.
Из формулы (5.155а) следуют два интересных результата. Во-первых, если положить X л/2, то
OO OO
' -HI [I-AdHrS [j^]. (5-157,
П—1 71=1
откуда получается известная формула Валлиса
OO
T-n^JoS.+,)]- ff-"»)
п—1
Второй результат связан с гамма-функцией (см. гл. 10). Одна из форм записи этой функции имеет вид
OO
Г(х) = [хес* П (i + JL)e-*/']~\ (5.159)
П=1 236
'ГЛАВА б. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
где С —постоянная Эйлера (см. разд. 5.2). Образуем произведение двух функций Г (я) и Г( — я), тогда
OO
Г(*)Г(-*)-"--[*с(:я j] (І-І-7-) с"т/гхе-г*х
Tl— 1
OO OO
Г=1 Г—1
Воспользуемся уравнением (5.155а), в котором сделана замена х = лх. Тогда
Г (je) Г (-JC) -=--?—. (5.161)
4 ' 4 ' X Sin JlX 4 '
Используем рекуррентное соотношение —xY(—x)~ = Г(1—х), полученное в разд. 10.1. Окончательно будем иметь
rWHl-.) . (5.162)
Эта формула полезна при рассмотрении гамма-функции.
Упражнения
OO OO
1. С помощью тождества In [j (1 ±ап)~ 2 ^nO ±ап) и Pa3"
п~ 1 Il- I
ложения Маклорена функции 1п(1±а7г) показать, что бесконечное произведение сходится или расходится в зависимости от сходимости
OO
или расходимости ряда ^ ап.
П— 1
2. Показать, что представление sin х и cos л: в виде (5.155а) и (5.1556) не противоречит тождеству 2 sin х cos х~sin 2х.
3. Определить предел, к которому сходится произведение
OO
IK'+^)-
п—2
со
4. Показать, что J] [ 1 -=-L .
п—2 5.9. БЕСКОНЕЧНЫЕ НРОЙЗЬЕДЕМИЯ 23?
5. Используя представление (5.155а), показать, что х ctg X =
со
Sl X \2тп
і ~пп ) ' И на1!ТИ из этого соотношения числа Бернулли
т, п~ 1
где ^ (2л) —дзета-функция Рнмана. Указание. Записать бесконечный ряд для Insinx и затем продифференцировать его.
6. Задан интеграл
я/2
!sinnxdx— j '" ^—— л In — четное). 2-4-6... п v
-я/2
„ .. * 1-3-5...(/1-1) Что произойдет с бесконечным произведением -- . - --, когда
^®D ••• tt
д—> оо?
Обосновать ответ, используя: а) теорему сходимости бесконечного произведения или ряда; б) заданный интеграл.
7. Можно доказать, что интеграл
1
JU X) X ах 4.6.8 >(2+2) 2-
Выразить это отношение, используя символ произведения Jj, и исследовать его поведение при р—>00. Полученный результат объяснить, рассматривая подынтегральную функцию на отрезке [О, 1] при р—^oo. Замечание. Этот интеграл применяется при построении полиномов Чебышева (см. разд. 9.3).
8. Основываясь на представлении (5.155а), показать, что
это совпадает с уравнением (5.131); B2n-числа Бернулли, а ? (2/г)—
d
дзета-функция Римана. Указание. In (sin х) = ctg х.
9. Убедиться в справедливости тождества Эйлера
OO OO
П П О-**"1)-1. IzI >1-
P=I ?=1 ,Г Jl A ft Л 5. RF-CKOtintIHbtF. РЯДЫ
5.10. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ИЛИ ПОЛУСХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ
Неполная гамма-функция. Природа асимптотических рядов хорошо иллюстрируется следующим примером. Пусть задана интегральная показательная функция *
X
Ei(JC)- j — du, (5.163)
— 00
или
оо
E і (-х)=^-^ du = E1(X), (5.164)
X
.значение которой необходимо вычислить для больших X. Наряду с этим рассмотрим обобщение неполной гамма-функции (см. разд. 10.5):
OO
I(x, р)= je-V^u, (5.165)
X
где де и р положительны. Вновь оценим ее для больших значений X. Интегрируя по частям, получаем
OO
/(*, P)-JerV-Uu =
X
со
=-?--гиг+р(р+!) J (5.166)
X
Продолжая последовательное интегрирование по частям, имеем
оо
+ (- 1)и j e-uu-p-ndu. (5.167)
* Эта функция часто встречается в астрофизике, когда рассматривается газ с энергетическим распределением по Максвеллу — Больцману. 5.10. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ИЛИ ПОЛУСХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ 239
Этот ряд замечателен тем, что, исследуя его сходимость по признаку Даламбера, получаем
HmLjtoias Um И-")''.-I=Hrn(5.168)
п-оо l«nl п-сЛР + '1-1)! * n->co jcJ
для всех конечных значений х. Следовательно, ряд, если его рассматривать как сумму бесконечного числа членов, расходится всюду! Однако не будем торопиться с выводами и считать уравнение (5.167) бесполезным. Выясним прежде, насколько точно данная частичная сумма описывает неполную гамма-функцию
