Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арфкен Г. -> "Математические методы в физике" -> 6

Математические методы в физике - Арфкен Г.

Арфкен Г. Математические методы в физике — М.: Атомиздат, 1970. — 712 c.
Скачать (прямая ссылка): matematmetodivfizike1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 185 >> Следующая


Аналогично рассмотрим произведение вектора С = = А + В на самого себя, используя инвариантность скалярного произведения:

С • С = (А + В) • (А + В) = А • А + В • В + 2А • В. (1.28)

Квадрат абсолютной величины вектора С

C-C = Ca (1.29)

является инвариантом, следовательно, произведение

A-B = -J- (C2-A2-Bz) (1.30)

инвариантно относительно поворота системы координат, поскольку инвариантна правая часть уравнения (1.30). Следовательно, A-B — скаляр.

Уравнение (1.28) можно записать в иной форме

C2 = A2 + B2 + 2AB cos 9, (1.31)

которая называется" законом косинусов (рис. 1.9). Сравнивая уравнения (1.28) и (1.31), мы еще раз проверяем уравнение (1.23) и убеждаемся в векторной природе закона косинусов.

Интересно проиллюстрировать геометриче-¦ ский смысл скалярного произведения на приме-Рис. 1.9. Закон косинусов. ре из общей теории относительности. Рассмотрим четырехмерную сферу X2 + у2 + Z2 + W2 = 1 в пространстве (х, у, г, w). Поверхность этой сферы может быть задана вектором г = (х, у, z, до), на который наложено условие I г I = 1. Построим единичный вектор t, касательный к поверхности ЭТОЙ сферы. В качестве одного из возможных примеров возьмем t = (у, —xt W9 —г). Чита- IL §EKfOi>HOE ПРОЙЗВЁДЕЙЙЁ

IiT »MJIM II milium ¦¦!¦> HI III і »I III^^^

тель может проверить, что t-t = 1, откуда ясно, что это единичный вектор; кроме того, t-r = 0, следовательно, это касательный вектор в любой точке поверхности сферы.

Существует двумерный аналог (см. упр. 1 к разд. 1.1), однако трехмерного аналога нет.

Упражнения

1. Разложением скалярного произведения показать, что если два вектора имеют направляющие косинусы «i, ?t, Yi и а%у ?2, Уч соответственно, то

COS 0 = Ot1CC2 + ?i?2 + ?іТ2»

где 0 —угол между двумя векторами.

2. Найти косинус угла между векторами A = Зі + 4j + к и B= і— — j-fk. Ответ: cos 9 — 0, O — я/2.

3. Два единичных вектора а і и ау- либо параллельны, либо перпендикулярны. Показать, что условие ортогональности направляющих косинусов (1.18) следует из скалярного произведения этих векторов

1.4. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

Вторая форма перемножения векторов связана с использованием синуса угла, заключенного между двумя векторами. Например, момент количества движения определяется как произведение длины плеча на импульс или как произведение расстояния до тела на импульс и на sin 0 (рис. 1.10).

Для рассмотрения различных задач, связанных с такими величинами, как момент количества движения, момент инерции, угловая скорость, определим векторное произведение в виде

C = AxB, (1.32)

где С == AB sin 8. В отличие от скалярного произведения в данном случае С уже вектор, и мы, по определению, пола-

Рис. 1.10. Момент количества движения (р — импульс; 1 — длина плеча; г — расстояние до тела). глАВА і. Векторный АНАЛИЗ

гаем, что этот вектор перпендикулярен к плоскости векторов А и В, а направление его таково, что совокупность векторов А, В и С образует правую систему координат. При указанном выборе направления имеем

AxB=-BxA (антикоммутация).

(1.32а)

Из определения векторного произведения следует

і X і = j X j = kxk = 0, (1.326)

тогда как

І X j = k, j xk = і, kx і = j, j X і — —k,

k X j

і, і X k= — j.

}

(1.32b)

Векторное произведение имеет важную геометрическую интерпретацию, которой мы воспользуемся в дальнейшем.

Рис. 1.11. Представление векторного произведения в виде параллелограмма.

В параллелограмме, образованном векторами А и В (рис-. 1.11), В sin 9 равно высоте, если вектор А принят за основание. Тогда | А X В | — AB sin 0 — площадь параллелограмма. Итак, вектор AxB перпендикулярен к плоскости параллелограмма, образованного векторами А и В, и по абсолютной величине равен его площади.

Попутно заметим, что уравнения (1.32в) и видоизмененное (1.326) стимулировали возникновение нового класса чисел кватернионов. При этом (1.326) переписывают в виде

1 X 1

jx] = kxk = -l. 1.4. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

23

Другое определение векторного произведения C-AxB связано с записью компонент вектора С:

Cx — AyBz — AzBy, Cy-AzBx — AxBz, Cz = AxBy — AyBx-,

(1.33)

или

Ci = AjBk-AkBj, і у /, k — все различны, (1.34)

с циклической перестановкой индексов i, /, k. Векторное произведение С удобно записать в виде определителя (см. разд. 4.1)

і j k

C =

Ax Au А

у

В

X By В

(1.35)

разложение которого по верхней строке дает три компоненты С, записанные в виде (1.33).

Пример. Пусть А = 6i + 4j -j- 3k, В = 2 і — 3j — 3k. Тогда векторное произведение

AxB =

1 J

6 4

2 —З

k

З

= ї (—12 + 9) — j {—18—6)-|-k (—18—8) =

= —Зі -f 24j—26k.

Чтобы[показать эквивалентность определений векторного произведения (1.32) и (1.33), рассмотрим скалярные произведения A-C и B-C. Исходя из определения (1.33), получаем

А • С - А - (А X В) - Ax (AyBz - AzBy) + + Ay (AzBx - AxBz) + Az (AxBy - AyBx) = 0. (1.36)

Аналогично

B-C = B-(AxB) = O. (1.37)

Уравнения (1.36) и (1.37) показывают, что вектор С перпендикулярен и к вектору А, и к вектору В (cos 0 = 0,6 — — ± 90°) и, следовательно, перпендикулярен к плоскости, в которой они лежат. Положительное направление определяется дополнительным условием, например і X J — к (С—+AxBy). 24
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed