Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Аналогично рассмотрим произведение вектора С = = А + В на самого себя, используя инвариантность скалярного произведения:
С • С = (А + В) • (А + В) = А • А + В • В + 2А • В. (1.28)
Квадрат абсолютной величины вектора С
C-C = Ca (1.29)
является инвариантом, следовательно, произведение
A-B = -J- (C2-A2-Bz) (1.30)
инвариантно относительно поворота системы координат, поскольку инвариантна правая часть уравнения (1.30). Следовательно, A-B — скаляр.
Уравнение (1.28) можно записать в иной форме
C2 = A2 + B2 + 2AB cos 9, (1.31)
которая называется" законом косинусов (рис. 1.9). Сравнивая уравнения (1.28) и (1.31), мы еще раз проверяем уравнение (1.23) и убеждаемся в векторной природе закона косинусов.
Интересно проиллюстрировать геометриче-¦ ский смысл скалярного произведения на приме-Рис. 1.9. Закон косинусов. ре из общей теории относительности. Рассмотрим четырехмерную сферу X2 + у2 + Z2 + W2 = 1 в пространстве (х, у, г, w). Поверхность этой сферы может быть задана вектором г = (х, у, z, до), на который наложено условие I г I = 1. Построим единичный вектор t, касательный к поверхности ЭТОЙ сферы. В качестве одного из возможных примеров возьмем t = (у, —xt W9 —г). Чита-IL §EKfOi>HOE ПРОЙЗВЁДЕЙЙЁ
IiT »MJIM II milium ¦¦!¦> HI III і »I III^^^
тель может проверить, что t-t = 1, откуда ясно, что это единичный вектор; кроме того, t-r = 0, следовательно, это касательный вектор в любой точке поверхности сферы.
Существует двумерный аналог (см. упр. 1 к разд. 1.1), однако трехмерного аналога нет.
Упражнения
1. Разложением скалярного произведения показать, что если два вектора имеют направляющие косинусы «i, ?t, Yi и а%у ?2, Уч соответственно, то
COS 0 = Ot1CC2 + ?i?2 + ?іТ2»
где 0 —угол между двумя векторами.
2. Найти косинус угла между векторами A = Зі + 4j + к и B= і— — j-fk. Ответ: cos 9 — 0, O — я/2.
3. Два единичных вектора а і и ау- либо параллельны, либо перпендикулярны. Показать, что условие ортогональности направляющих косинусов (1.18) следует из скалярного произведения этих векторов
1.4. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Вторая форма перемножения векторов связана с использованием синуса угла, заключенного между двумя векторами. Например, момент количества движения определяется как произведение длины плеча на импульс или как произведение расстояния до тела на импульс и на sin 0 (рис. 1.10).
Для рассмотрения различных задач, связанных с такими величинами, как момент количества движения, момент инерции, угловая скорость, определим векторное произведение в виде
C = AxB, (1.32)
где С == AB sin 8. В отличие от скалярного произведения в данном случае С уже вектор, и мы, по определению, пола-
Рис. 1.10. Момент количества движения (р — импульс; 1 — длина плеча; г — расстояние до тела).глАВА і. Векторный АНАЛИЗ
гаем, что этот вектор перпендикулярен к плоскости векторов А и В, а направление его таково, что совокупность векторов А, В и С образует правую систему координат. При указанном выборе направления имеем
AxB=-BxA (антикоммутация).
(1.32а)
Из определения векторного произведения следует
і X і = j X j = kxk = 0, (1.326)
тогда как
І X j = k, j xk = і, kx і = j, j X і — —k,
k X j
і, і X k= — j.
}
(1.32b)
Векторное произведение имеет важную геометрическую интерпретацию, которой мы воспользуемся в дальнейшем.
Рис. 1.11. Представление векторного произведения в виде параллелограмма.
В параллелограмме, образованном векторами А и В (рис-. 1.11), В sin 9 равно высоте, если вектор А принят за основание. Тогда | А X В | — AB sin 0 — площадь параллелограмма. Итак, вектор AxB перпендикулярен к плоскости параллелограмма, образованного векторами А и В, и по абсолютной величине равен его площади.
Попутно заметим, что уравнения (1.32в) и видоизмененное (1.326) стимулировали возникновение нового класса чисел кватернионов. При этом (1.326) переписывают в виде
1 X 1
jx] = kxk = -l.1.4. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
23
Другое определение векторного произведения C-AxB связано с записью компонент вектора С:
Cx — AyBz — AzBy, Cy-AzBx — AxBz, Cz = AxBy — AyBx-,
(1.33)
или
Ci = AjBk-AkBj, і у /, k — все различны, (1.34)
с циклической перестановкой индексов i, /, k. Векторное произведение С удобно записать в виде определителя (см. разд. 4.1)
і j k
C =
Ax Au А
у
В
X By В
(1.35)
разложение которого по верхней строке дает три компоненты С, записанные в виде (1.33).
Пример. Пусть А = 6i + 4j -j- 3k, В = 2 і — 3j — 3k. Тогда векторное произведение
AxB =
1 J
6 4
2 —З
k
З
= ї (—12 + 9) — j {—18—6)-|-k (—18—8) =
= —Зі -f 24j—26k.
Чтобы[показать эквивалентность определений векторного произведения (1.32) и (1.33), рассмотрим скалярные произведения A-C и B-C. Исходя из определения (1.33), получаем
А • С - А - (А X В) - Ax (AyBz - AzBy) + + Ay (AzBx - AxBz) + Az (AxBy - AyBx) = 0. (1.36)
Аналогично
B-C = B-(AxB) = O. (1.37)
Уравнения (1.36) и (1.37) показывают, что вектор С перпендикулярен и к вектору А, и к вектору В (cos 0 = 0,6 — — ± 90°) и, следовательно, перпендикулярен к плоскости, в которой они лежат. Положительное направление определяется дополнительным условием, например і X J — к (С—+AxBy).24