Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Задача состоит теперь в том, как ориентировать координатные оси в пространстве, чтобы Jxy и другие недиагональные элементы стали нулевыми. Следствием и признаком такой ориентации является параллельность векторов угловой скорости и момента количества движения в том случае, если угловая скорость направлена вдоль одной из таких переориентированных осей. 4.5. ДЙАГОПАЛЙЗАцНЯ MAtl5HU
181
Геометрическая трактовка — эллипсоид. Умножим матрицу J справа и слева на единичный вектор переменного направления n = (а, ?, 7):
fn] J {n}--I. (4.99)
Здесь I —число (скаляр), величина которого зависит от выбора направления п. Выполним умножение
I = Jxx а2 - !- Jyy P2 + Jzzf -I- 24усф + 2 Jxtay
+ 2 Jyzf>y. (4.100)
Введем обозначение
P = П/П (4.101)
где р изменяется по величине и направлению. Тогда уравнение (4.100) примет общую форму уравнения эллипсоида
1 =¦- JxxP21 + JyvPl + JzzPl + ZJxvPiPz + 2/хгр,р3 + 2 Jy2p2p3
(4.102)
в переменных pi, P2 и р3. Из аналитической геометрии известно, что координатные осп всегда можно повернуть таким
Pf
rPf
Рис. 4.3. Эллипсоид момента инерции.
образом, чтобы они совпали с главными осями эллипсоида (рис. 4.3). Тогда
1-?;2+^;2+?;2, (4.10?
где р;, р2 и рз образуют новый набор координат. 182 Г JJ А В А 4. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Эрмитовы матрицы. Начнем с важной теоремы о диагональных элементах и главных осях. В уравнении
Ar Xr (4.104)
число X (скаляр) — собственное значение, соответствующий вектор г — собственный вектор *. Мы докажем сейчас, что если А — эрмитова матрица **, то ее собственные значения вещественны, а собственные векторы ортогональны.
Пусть Xit Xj — собственные значения, Ti и ^ — соответствующие собственные векторы эрмитовой матрицы Л.
Тогда
Ari = (4.105)
Arj = XjTj. (4.106)
Умножим уравнение (4.105) на rt:
j
i}i4r, = b,rjr,. (4.107)
(Заметим, что если г — вектор-столбец, то г* — вектор-строка.) Уравнение (4.106) умножим на rt:
rlArj = Xjr\rj. (4.108)
Применим к этому уравнению операцию комплексного сопряжения:
г}і4*Гі = ^rJril (4.109)
или, в силу эрмитовости Л,
TtArl^Tjri. (4.110)
Подставив (4.110) в уравнение (4.107), получим
(Xi-XJ)Tjil = O. (4.111)
Это соотношение носит общий характер и выполняется для всех возможных комбинаций і и /. Положим сначала i — j. Тогда из последнего уравнения имеем
(Xi-Xf)IrH2-O. (4.'112)
* Уравнению (4.96) можно придать такой же вид, если взять © в направлении одной из главных осей. Тогда L = Хю и J® =
** Если матричные элементы матрицы А вещественны, то требование эрмитовости заменяется требованием симметрии. 4.5. ДИАГОНАЛИЗАЦИЯ МАТРИЦ
183
Поскольку IriI = O представляет собой тривиальное решение уравнения (4.112), мы вправе записать, что
Xi = Xfr (4.113)
т. е. Xf — вещественные числа при любых i\ В случае ІФ\ и ХіФХ}
(Xi — Xj) I-Jri = 0 (4.114)
или
I-Jn = O1 (4.115)
а это означает, что собственные векторы, соответствующие разным собственным значениям, ортогональны; уравнение (4.115) служит обобщением свойства ортогональности на комплексное пространство.
Если Xi = Xj (вырожденный случай), гг- не может автоматически быть ортогональным Tj, но его можно сделать ортогональным. Обратимся вновь к матрице момента инерции. Если Xi совпадает с осью вращательной симметрии, то X2 = X3. Оба собственных вектора г2 и г3 перпендикулярны к оси симметрии гь однако их положение произвольно в плоскости, перпендикулярной T1; таким образом, любая линейная комбинация г2 и г3 — также собственный вектор. Рассмотрим CtzT2 + а3т3, где а2 и а3 постоянны. Тогда
A (а2т2-\-а3т3) =Ci2X2T2 + а3А,3Гз = h(<№ + й3г3), (4.116)
что и следовало ожидать, так как Xi — ось вращательной симметрии. Следовательно, если Ti и г2 фиксированы, г3 можно просто выбрать перпендикулярным г2 и лежащим В ПЛОСКОСТИ, перпендикулярной Гі. Общий метод получения ортогональных решений, так называемый метод Шмидта, применительно к функциям изложен в разд. 9.3.
Все, о чем говорилось выше, по существу представляет собой теорему существования. Для нахождения собственных значений Xi и собственных векторов г* обратимся к уравнению (4.104). Предполагая, что г умножен на единичную матрицу, перепишем уравнение (4.104)
(А — XI) т = 0, (4.117)
здесь I — единичная матрица. Мы получили систему однородных линейных уравнений. Как установлено в разд. 4.1, она имеет нетривиальные решения только 3 том случае, если определитель из коэффициентов этой >
184 Г Л А В Л 4. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
системы равен нулю
A-XI 1 = 0.
(4.118)
Остановимся на случае, когда А представляет собой эрмитову матрицу из девяти элементов. Тогда
ац — X а12 сії з Chi Ci22-X a2i а зі Ci32 H33 — X
= 0.
(4.119)
Это уравнение часто используют в астрономии, поэтому его обычно называют секулярным или вековым уравнением. Выражение (4.119) сводится к кубическому уравнению относительно Xt которое, конечно, имеет три корня. Из (4.113) мы знаем, что эти корни вещественны. Подставляя конкретные значения корней в уравнение (4.117), можно найти соответствующие собственные векторы.
