Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
і о о о I' <4-91>
о І О 0.
то можно показать, что эти 4 X 4-матрицы удовлетворяют соотношениям
a/jj -2SljI
^a ал (аптнкоммутацпя) (4.92)
PiPj+ PfPi = 2?;/
Л А Л А Л л
OipJ-Wi = [tfj, pj] ^O (коммутация) (4.93)
и
OiSj^iafl, PiPj = Ірл — циклическая перестановка индексов.
(4.94)
В табл. 4.1 сведены матрицы Дирака, образованные перемножением рассмотренных матриц. Обозначим эти 4x4-
Л Л Л Л
матрицы Дирака Ei j — р* а7-. Имея в виду, что р0 = а0 = / (единичная матрица), можно сказать, что индексы i, j = = 0, 1, 2,3. Эти 16 матриц обладают интересными свойствами:
1) Eli = /;
2) Eij = Etj, т. е. все эти три матрицы эрмитовы и, следовательно, на основании свойства 1, унитарны;
3) шестнадцать матриц Eu почти образуют математическую группу * (в результате умножения любых двух из этих матриц получается третья, принадлежащая тому
* Eij можно видоизменить так, чтобы они в точности удовлетворяли определению группы, по тогда они потеряют свойства эрмитовости и унитарности.
j 2—1 257 «
178 Г JJ А В А 4. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
же набору матриц, с точностью до множителя —1 или ±0;
4) все матрицы Eij линейно независимы, т. е. ни одну из них нельзя представить в виде линейной комбинации остальных 15 матриц;
Таблица 4.1
Мат- А А
рица / »2 03
0 10 0 10 0 0 0 0 0 1
0 0 10
А
о о -1 о 0 1 о о
А
о о о
Pl
'0010 0 0 0 1 10 0 0 vo 1 о о
Pi. -Ys
0 0 0 1
0 0 10
0 10 0
10 0 0 А
«1
о о
О і -і О
о о
#ч «2
0> о
OJ
Р2
Р2> «5
о - і о о
Yt
О -І о' О 0 і О OO -і О О
А
Y3
5) шестнадцать матриц Ец образуют полную систему, т. е. любую 4 X 4-матрицу (с постоянными элементами) можно записать в виде линейной комбинации данных 16 матриц
3
A = 2 CijEiji і,Н> 4.4. ЭРМЙТОЙЫ И УНИТАРНЫЕ МАТРИЦЫ
179
где коэффициенты Cij (вещественные или комплексные) постоянны.
Наборы антикоммутирующих матриц. Из указанных 16 эрмитовых матриц можно получить шесть наборов антикоммутирующих матриц по пять матриц в каждом. Используя обозначения табл. 4.1, выпишем эти наборы:
~ ' - it t - OI Г її f^l ~ • I a7 ~ 07 ' 1Ї 'id'
A
Наряду с набором a-матриц в релятивистской квантовой
механике широко используются У"матРи1*ЬІ-
Обсуждение ортогональных матриц в разд. 4.3 и унитарных матриц в этом разделе следует рассматривать только как некоторое введение. Дальнейшее развитие матричный анализ получил в современной теории элементарных частиц. На основе матриц Паули и Дирака можно построить спиноры, которые используются в теории электронов, протонов и других частиц со спином 1/2. Поворот систем координат описывается группой вращения 3), составленной обычно из матриц, элементы которых зависят от углов, определяющих данное вращение. Очень плодотворным оказалось применение специальной унитарной группы SU{n) в теории тяжелых частиц — мезонов и бозонов.
1. Показать, что
2. Даны эрмитовы матрицы А и В. Показать, что матрицы {АВ-\-ВА) и i{AB—BA) также эрмитовы.
3. Доказать унитарность обратной матрицы, если исходная матрица унитарна.
4. Показать, что эрмитовость матрицы сохраняется при унитарных преобразованиях подобия.
5. Дана матрица
C=StS. Показать, что след матрицы С положителен, если только S — ненулевая матрица, в последнем случае TrC=O.
6. Показать, что все 4х4-матрицы (элементами которых служат комплексные числа) можно представить в виде линейной комбинации
матриц /, Yb Y2» Y3» Y4 и их произведений.
7. Обозначив 16 матриц Дирака Eij=Pi <fj (Po = OrO = Л» показать, что E\j=*I для всех і и j и, кроме того, Eij=Е\у Замена-
Л л.
ние. Воспользоваться известными свойствами матриц р* и dj.
(4.95)
Упражнения
12* ISO Ґ Jl А В А 4. МАТРИЦЫ Il ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
8. Проверить справедливость уравнений (4.92) — (4.94) для 4х4-матриц о" и р.
9. Воспользоваться уравнениями (4.93) и (4.94) и показать, чго матрицы набора (4.95), образующие шесть различных систем, деметпн-тслыю антикоммутиругот.
10. С помощью уравнений (4.93) и (4.94) показать, что
«і а2 а3 «і «5 + I, Yi Yz Уз Ya Ys ^ ~Н •
11. Доказать, что M2 ^=M1 если Л! г= (/4- уь)/2.
Отметим, что матрицу v-, можно заменить на любую другую матрицу Дирака (на любую матрицу Eij из табл. 4.1).
4.5. ДИАГОНАЛИЗАЦИЛ МАТРИЦ
Матрица момента инерции. Во многих задачах физики, требующих привлечения матричного анализа для приведения матрицы к диагональной форме, желательно произвести ортогональное преобразование подобия или унитарное преобразование, которое все недиагоналыше матричные элементы делает нулевыми. Проиллюстрируем этот метод на известном примере матрицы момента инерции J твердого тела. По определению момента количества движения,
L -Уо, (4.96)
где (о —угловая скорость. Диагональные элементы ./ равны
Jxx = Sт (/1 -х\) и т. д. (4.97)
і
Индекс і относится к массе тг. Для недиагональных элементов имеем
Jxy =---3 ШіХіУі - Jyx- (4.98)
і
Проверка показывает, что матрица J симметрична. Кроме того, поскольку J входит в уравнение (4.96), которое справедливо для любых ориентаций системы координат, ее можно считать тензором.
