Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
2. Показать, что произведение двух ортогональных матриц ортогонально.
3. Показать, что Tr (ЛЯС) = Tr (CBA)t если любые две из этих трех матриц коммутируют.
* Все матричные элементы предполагаются вещественными числами. 174 Г JJ А В А 4. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
4. Показать, что след произведения симметричной и антисимметричной матриц равен нулю.
5. Показать, что BA=It если AB = I.
6. Суммируя тройное произведение ортогональных матричный элементов
г k hi
доказать, что A=A'1. Здесь a^J — матричный элемент обратной матрицы Л-1.
7. Убедиться, что операции инверсии и транспонирования коммутируют: (Ж)"1=(Ж-1).
8. Пусть матрица имеет обратную, доказать, что обратная матрица единственна.
9. Пусть А антисимметрична, убедиться, что гЛг=0, где г~ вектор-столбец.
10. Показать, что след матрицы инвариантен относительно преобразования подобия.
11. Показать, что сумма квадратов матричных элементов инвариантна относительно ортогонального преобразования подобия.
12. Обобщить результат упр. 11 и показать, что
2 SjhTjh-^1 SimTim'
jk Im
где матричные элементы в повернутой и первоначальной системах связаны ортогональным преобразованием подобия. Этот результат используется при выводе инвариантов электромагнитного поля (см. разд. 3.7).
13. Проверить, что определитель матрицы остается инвариантным при преобразованиях подобия.
14. Показать, что свойство антисимметрии инвариантно относительно ортогонального преобразования подобия.
15. Убедиться, что симметрия матрицы автоматически влечет за собой ее ортогональность, если AA=/.
16. Показать, что ортогональность матрицы автоматически влечет за собой ее симметрию, если AA=L
17. Пусть А ортогональна, проверить, что ее определитель равен единице.
4.4. ЭРМИТОВЫ И УНИТАРНЫЕ МАТРИЦЫ
Определения. До сих пор мы предполагали, что матричные элементы вещественны. В большинстве вопросов классической физики предположение о вещественности матричных элементов вполне достаточно. Однако в квантовой механике вследствие вида основных коммутационных соотношений (или формы уравнения Шредингера) неизбежно появляются комплексные переменные. В связи с этим обоб- 4.4. ЭРМИТОВЫ И УНИТАРНЫЕ МАТРИЦЫ
175
щим матричный анализ на случай комплексных матричных элементов. Введем следующие определения.
1. Комплексно-сопряженная матрица А* получается при комплексном сопряжении (і ->- —і) каждого матричного элемента.
2. Матрица A^ получается при транспонировании А*
А1* = А* — А*. (4.75)
3. Матрица А эрмитова (или самосопряженная), если
A = A*. (4.76)
В квантовой механике (или в матричной механике) матрицы обычно эрмитовы.
4. Матрица U унитарна, если
U* = U~r. (4.77)
Понятие унитарности служит дальнейшим развитием понятия ортогональности матриц (4.51).
Если подвергнутая преобразованию иодобия матрица унитарна, то преобразование называется унитарным:
А' = UAU*. (4.78)
Покажем, что произведение двух унитарных матриц унитарно. Пусть матрицы Ui и U2 унитарны. Тогда
Г =(U1U2) (U1U2)-1 = UiU2U-1U;1 = UiU2UlUl (4.79)
Поскольку операция присоединения совпадает с транспонированием (за исключением комплексного сопряжения), то
(UlUi)* = U*2U\ (4.80)
(см. упр. 2). Подставив (4.80) в (4.79), получим
/= (UiU2)(UiU2)K (4.81)
Умножим это соотношение слева на (UiU2)'1
(UiU2)^ = (UiUz)*. (4.82)
Полученный результат и доказывает наше утверждение. Другие свойства унитарных матриц рассмотрены в упражнениях.
Матрицы Паули. В релятивистской теории электрона широко используются комплексные 4 X 4-матрицы. Однако 176 Г JJ А В А 4. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
сначала рассмотрим набор трех 2 х 2-матриц Паули . /0 1\ A /О —i\ , /1 0\
0HioI'0Hi oJ'e'4o-i)' (4-83)
Матрицы Паули введены для описания частиц со спином 1/2 (нерелятивистская теория). Легко показать (см. упр. 1 к разд. 4.2), что они удовлетворяют соотношениям
OiOj-]-OjOi = 2bijl— антикоммутация, (4.84) OiOj = іон — циклическая перестановка индексов, (4.85)
(Oi)2^L (4.86)
Матрицы Дирака. В 1927 г. Дирак дополнил три матрицы Паули единичной матрицей и получил набор четырех антикоммутирующих матриц, который является полным в том смысле, что любую постоянную 2 X 2-матрнцу M можно записать как
M = CqIH C1O1 + C2O2 -]- C3O3, (4.87)
где C0, Си C2 и Сз — постоянные. Следовательно, система матриц Паули была неполной, поскольку не было четвертой антикоммутирующей матрицы. Можно показать, что З X 3-матрицы не могут образовать полного набора четырех антикоммутирующих матриц.
Обратимся вновь к 4 X 4-матрицам и построим полный набор из матриц Паули. Положим
Pi= , J' (4.88)
каждый матричный элемент этих матриц представляет собой 2 X 2-матрицу. Например,
0 10 0' 10 0 0
о о о і '' Pl== ' (4,89)
\0 О 1 0. 4.4. ЭРМИТОВЫ И УНИТАРНЫЕ МАТРИЦЫ
177
Первоначально Дирак выбрал набор следующих четырех матриц:
10 0 0'
0 1 0 Oi Gi = Pitfh а4-Рз=| 0 0-1 0 1,1"=1»2»3- (4'9°)
.0 0 0 -1 а
Если же добавить матрицу заданную в виде
(0 0 -i О' 0 0 0 -і
