Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
= 0, [Afz, L+I=L+, [/+, L~] = 2Mzt где It s Afx±iAfy.
* Обычно обозначается символами Sp или Tr. Мы используем второе обозначение.— Прим. перев. 4. 2. матрицы
103
Показать, что соотношения 1)—3) справедливы для двух наборов матриц M:
0 0
JWx=I-O о
о
Второй набор используется при описании частиц со спином 3/2.
4. Используя матрицы Паули из упр. It показать, что
(6 a) (<y.b)=a.b-J-fff.(ax Ь).
ааа Л
Здесь с да iffre + jffp + ktfz; а и Ь—обычные векторы.
5. Доказать, что перемножение матриц ассоциативно: (AB)C= =A (ВС).
6. Матрица А диагональна, причем все ее диагональные элементы различны. Доказать, что если А и В коммутируют, то В диагональна.
7. Доказать, что если матрицы А и В диагональны, то они коммутируют.
8. Убедиться, что след каждой из двух несингулярных анти-коммутирующих матриц равен нулю. (Несингулярность означает, что определитель, составленный из матричных элементов, не равен нулю.)
9. Показать, что Tr (ABCD)=Ix (DABC).
10. Дана матрица A-1 с элементами atf=Cij/\ А [, где (?-
алгебраическое дополнение |А |. Показать, что А~1'А=1. Следовательно, Л-1-—обратная матрица (| А | ф 0).
11. Проверить тождество Якоби
[А,[В,С\] = [ВЛА,С])-[С,[А,В]].
11* 1G4
ГЛАВА А. МАТРИЦЫ П ОПРГ.ДГ!ЛИТПЛИ
Оно встречается в теории элементарных частиц. В качестве мнемонического правила читатель может взять известную формулу ВАС—CAB из разд. 1.5.
12. Матрица С образована в результате перемножения А и В. Показать, что определитель матрицы С равен произведению определителей матриц А и В
detC=det Л-deU.
4.3. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ
Обычное трехмерное пространство можно описать, используя хорошо известные декартовы координаты Xi у, 2. Рассмотрим вторую систему декартовых координат х\ у\г\ начало которой совпадает с началом первой системы, однако оси ориентированы иначе. В этом разделе будут повторены некоторые результаты гл. I и 3, но в несколько отличном виде и с другими целями. В гл. 1 и 3 все внимание фокусировалось на векторе или тензоре. Здесь же основной упор сделан на вращении системы координат.
Направляющие косинусы. Ндшшчный вектор, направленный по оси х' (Г), можно разложить на компоненты этого пек гора вдоль осей дг, у и г:
\ HcosfA:', х) + j cos (jc' , у) -f k cos(*\ г). (4.25)
Для удобства введем обозначения
cos(x\ х) =ац, cos(х', у) —¦ с?12, cos(.*', г) — ai3 (4.26)
и соответственно
cosfo', х) =^a2i (а2{фа12), cos(у\ у) = а22 и т. д. (4.27)
Теперь уравнение (4.25) и аналогичные выражения для j', к' перепишутся в виде
У = i?« + К*12 + k?I8f j' = Ш21 + j«22 + koS23i
к# = Ifl3I H- jo32 H- k?33-
С другой стороны, можно выразить векторы через их компоненты в повернутой системе координат:
і = Vail H- У (hi H- кйзь j = i'ai2 + У ?22 + к'а32, к = \'аІЗ-\-Уа2Н + к'а33.
Поставив индекс I в соответствие векторам і и Г, индекс 2 — векторам j hj", а индекс 3— векторам к и к'
J (4.28)
J (4.29) 4.3. ОРТОГОНАЛЬНЫ!: МАТРИЦЫ
105
(рис. 4.1), замечаем, что в каждом случае первый индекс ац относится к единичным векторам повернутой системы Y1 j', к', а второй — к векторам первой системы i, j, k.
Рис. 4.1. Декартовы системы координат.
Векторы. Если рассматривается вектор, компоненты которого являются функциями положения в пространстве, то
V(*, у, z) = Wz + IVv -I- Wz = = V' (х\ у\ zf) — VVx' + JTi' + KVz', (4.30)
поскольку точку в пространстве можно задать как с помощью координат х, у, z, так и с помощью координат Xt1 у\ z'. Подставив вместо i, j и к их выражения из (4.29), можно разбить уравнение (4.30) на три отдельных скалярных уравнения:
Vx' = OiiVxH-AfiaVy-I-fluVzt ї Vy=Q2lVx-+CiziVyH- Ai23V2, і (4.31)
v;< ^a3lVx+a32Vj, 4-A33V*. J 166
Г JJ А В А 4. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
В частности, эти соотношения выполняются и для координат точки (х, у, Z) и (X', у', zf):
x'=anx+ai2y + а132, ^
у' = а21х-\-а22у-\-а23г, I (4.32)
z' = a3lx + a32y + a33z. J
Удобно обозначить координаты этой точки следующим образом:
X-^Xit у —> X2i Z-^x3. (4.33)
Аналогичные обозначения введем для координат повернутой системы. Тогда систему трех уравнений (4.32) можно записать в форме
з
Xi=^aijXji i = 1,2,3. (4.34)
Мы не будем пока касаться этих результатов и попытаемся решить ту же проблему иначе. Рассмотрим две координатные системы Xit x2l X3 и x'v хг2> х'3 с общим началом отсчета и некоторой заданной точкой, которая в неподвижной системе имеет координаты xit x2f x3t а в подвижной (jq, xf2t Xg). Следует отметить обычную двойственность обозначений. Та же самая буква х относится и к координатной оси и описывает расстояние вдоль этой оси. Поскольку заданная система линейна, х\ можно выразить в виде линейной комбинации переменных Xi:
з
S ацх}. (4.35)
j=i
Здесь коэффициенты aij можно отождествить с направляющими косинусами. Ниже, при исследовании двумерного случая, это будет проделано строго.
Если в двух системах координат заданы два набора величин (Ki, K2, F3) и Vzt V3), связанных между собой
