Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арфкен Г. -> "Математические методы в физике" -> 43

Математические методы в физике - Арфкен Г.

Арфкен Г. Математические методы в физике — М.: Атомиздат, 1970. — 712 c.
Скачать (прямая ссылка): matematmetodivfizike1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 185 >> Следующая


Умножение (на скаляр). Под умножением матрицы А на скаляр а понимают операцию аА — (аД), где элементами матрицы аА служат ааи, иными словами, каждый элемент матрицы А умножается на скалярный множитель. Этим матрицы существенно отличаются от определителей, у которых умножение на а соответствует умножению только на один столбец или одну строку, а не на каждый элемент всего определителя в целом. В соответствии с этим умножение на скаляр также коммутативно, аА — Aa.

Произведение матриц. Матрица С является произведением матриц AnB

AB = C (4.15)

В ТОМ И ТОЛЬКО B ТОМ случае, если CiJ ~ 2 aihbhj-

k

Элемент матрицы С с индексом ij образован как скалярное произведение і-й строки матрицы А с /-м столбцом матрицы В (при этом требуется, чтобы число столбцов матрицы А совпадало с числом строк матрицы В). Немой индекс k пробегает все значения 1, 2, ../г, т. е. для п = 3

Ctj - QubiJ • I- dizhj + ciisbsj- (4-16)

Очевидно, немой индекс k можно заменить на любой другой, который еще не использовался, уравнение (4.15) от этого не изменится. Возможно, дополнительное пояснение внесет замечание, что уравнение (4.15) фиксирует способ перемножения заданных матриц. Этот способ сочетания матриц называется матричным умножением. В качестве иллюстрации

\ 160

Г JJ А В А 4. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

рассмотрим произведение матриц

. /0 1\ „ /1 0\ . 0Hio) " Ио-і)' (417)

. , /о-н-ьо 0-0+ 1 -(— 1)4 /о -1\ g^sIbH-O-O 1 - 0 + 0-( -1)/ \1 о)- (4Л8)

Л А /Ч л л

Здесь ((T1G3)*; — +cii2uhy Непосредственное вычисление с помощью правила перемножения матриц дает

(4.19)

а из уравнения (4.15) имеем

ад=— (J1Q3. (4.20)

Таким образом, за исключением специальных случаев, операция перемноження матриц некоммутативна*

АВФВА. (4.21)

Тем не менее по смыслу определения операции перемножения матриц можно видеть, что ассоциативный закон выполняется: (AB)C-A (ВС). Справедлив также и дистрибутивный закон: А (В + С) = AB -f АС.

Интересно остановиться на некоторых специальных матрицах. Если матрица содержит один столбец и п строк, она называется вектор-столбцом {*} с компонентами Xil /—1,2, . . ., п. Аналогично, если матрица состоит из одной строки, в которой содержится п элементов, она называется вектор-строкой \х] с компонентами Xi, і ~~ 1, 2, . . ., п. Очевидно, если А представляет собой квадратную п x «-матрицу и при этом заданы я-компонент-ный вектор-столбец {*} и п-компонентная вектор-строка [дг], то А {*} и [х] А определены уравнением (4.15), в то время как А [х] и {я} А не имеют смысла:

В оставшейся части этой главы мы сконцентрируем главное внимание на вектор-столбцах, вектор-строках# и и квадратных матрицах. Единичная матрица в качестве

* Коммутацию принято обозначать специальным символом, квадратными скобками: [4, В] = AB — BA. В этом обозначении уравнение (4.21) выглядит как [At В] Ф 0.

"3M-I о) 4.2. МАТРИЦЫ

161

матричных элементов имеет символ Кронекера Sijt и ее свойства таковы, что IA — Al — А для любых А.

(4.22)

Если все элементы матрицы равны нулю, то такая матрица называется нулевой или нуль-матрицей и обозначается символом О. Для всех А имеем OA — OA = О, поскольку

O= и и и ••• . (4.23)

Любопытно, что в результате перемножения двух матриц можно получить нулевую матрицу, хотя ни одна из перемножаемых матриц не является нулевой. Например, если

-a- -из- <->

то AB = O.

Диагональные матрицы. Имеется один важный специальный случай, когда в квадратной матрице все недиагональные элементы равны нулю. В частности, если 3 х 3-матри-ца А диагональна, то

/ан О О

A =I 0 «22 о

VO О азз,

Физическое толкование таких диагональных матриц и метод приведения матриц к диагональной форме рассматриваются в разд. [4.5. Здесь же мы просто отметим важное свойство диагональных матриц: диагональные матрицы коммутируют

т. е. ЛД= BA1 если А и В диагональны.

\

11-1257 162

Г JJ А В А 4. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

След матрицы *. В любой квадратной матрице сумма ее диагональных элементов называется следом этой матрицы. Одно из интересных и полезных свойств состоит в том, что след произведения двух матриц А и В не зависит от порядка сомножителей:

Tr (4Я)=2 № = SS ^ = і І j

-SS Mu=S (M)w-Tr (BA). } і і

Это выполняется даже в том случае, когда AB Ф BA,

Упражнения

1. Даны спиновые матрицы Паули

- /0 1\ » /0 —i\ » /І 0 \ ffHl о)' ffH- 0 )' "-(о —і) •

Показать, что or?=/, SiSj=Iak1 SiSj-\-SjSi = 2oijl (t, /, ?) = (1, 2,3),

(2, З, І), (З, 1, 2).

Эти матрицы были использованы Паули в нерелятивист скоіі теории электрона.

2. Даны три матрицы

"¦(-.' -,)• -с а- м-, -.г

Найти все возможные произведения A1 В и С, в том числе и их квадраты. Выразить ответы через Af В и Си единичную матрицу /. Эти три матрицы наряду с единичной матрицей образуют математическую группу.

3. При описании частицы со спнном 1 пользуются матрицами

Показать, что: 1) [Af3ct My]—iMz и т. д. (циклическая перестановка); 2) Af2sAf|+AfJ -j-AfJ=2/, где / -единичная матрица; 3) [Af2, Afj] =
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed