Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Имеют место следующие утверждения:
1) определитель с двумя равными строками (столбцами) равен нулю;
* Изменение знака совершенно очевидно при перестановке двух соседних строк (или столбцов); ясно, что в этом случае перестановка нечетна. Читатель может убедиться сам, что перестановка двух любых строк также нечетна. I5G Г Jl Л В Л <1. МАТРИЦЫ и ОШ'ЦДНЛИТПЛИ
2) если каждый элемент в строке (столбце) равен нулю, то определитель также равен нулю;
3) если все элементы строки (столбца) умножить на некоторую постоянную, то весь определитель умножится на ту же постоянную;
4) величина определителя не изменится, если к элемен-тамоднойиз его строк (столбцов) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на некоторую постоянную.
Мы имеем
01 Ih с і Q1 •kbi bi Cl
Ч Ь2 C2 02- -kb2 Ьг C2 (4.9)
Ciz Ьг Сг I -kbi Ьг Cs
Используем разложение Лапласа
(Ii -| Iibi bi C1 «І bi Cl bi bi Cl
a2 + kb2 b2 C2 — аг ь2 C2 -Yk Ь2 ь2 C2
Cti-Ykb3 Ьг Съ аъ Ьг Сз Ьг Ьг Сз
На основании свойства антисимметрии второй определитель в правой части равен нулю. Из свойства антисимметрии и свойства 3 следует, что определитель равен нулю, если две его любые строки или два столбца пропорциональны. Это доказывает соотношение (4.9).
Решение системы однородных уравнений. Одно из главных применений определителей связано с отысканием условия существования нетривиального решения системы линейных однородных алгебраических уравнений. Пусть имеется система трех однородных уравнений с тремя неизвестными (или п уравнений с п неизвестными):
CiiX-I blIj-I-CiZ -О, Ї
агх~\-Ь2у-\ C2Z = O, > (4%11)
и3х \ b3y-\-c3z^ 0. J
Необходимо установить, имеет ли эта система любое, отличное от тривиального * = 0, у — 0, z = 0, решение. 4.1. ОПРЕДЕЛИТ ПЛИ
157
Образуем определитель из коэффициентов системы (4.11), затем умножим его на х н воспользуемся свойством 4:
.V
ol Ci іi1x Oi С\
q2 Ьг Cz — (I2X ь2 C2
аз Ьз C3 а3х ь3 C3
CliX -I- M -f C1Z bi Cl
Cl2X I- Ь2у I- C2Z Ih C2
Cl3X ~\Ьъу + съг ь3 C3
(4.12)
В последнем определителе каждый элемент первого столбца в силу (4.11) равен нулю. т. е.
X
dl bi Ci 0 bi Ci
Ct2 к C2 0 ь2 C2
Cl3 Ьп C3 0 b3 C3
-0.
(4.13)
Отсюда следует, что для существования нетривиального решения системы уравнений (4.11) определитель, составленный из коэффициентов этой системы, должен равняться нулю. И наоборот, можно показать, что если определитель, составленный из коэффициентов некоторой системы, равен нулю, эта система должна иметь нетривиальное решение. Этим мы воспользуемся в разд. 7.6 при изучении линейной зависимости системы функций.
Упражнения
1. Вычислить определители
1 0 1 1 2 0
0 1 0 > 3 1 2
1 0 0 0 3 1
2. Исследишнъ систему однородных уравнений
2х +у+Zz--Q и установить, имеет ли она нетривиальное решение. 158
глава <1. матрицы и определители
3. Дано алгебраическое дополнение Cij элемента aij. Доказать,
что 2 a\fij — S — !» где I А ! — определитель, составлен-І і
ньш из элементов atj, кроме того, доказать, что ^J ^l-Cl-Jl =
і
= ^flfA* = 0' Іфк-
і
4.2. МАТРИЦЫ
Основные определения. Матрицу можно определить как квадратную или прямоугольную таблицу чисел или функций, которые подчиняются определенным условиям. Такое определение представляется логическим развитием хорошо известных математических понятий. В арифметике мы сталкиваемся с простыми числами. В теории комплексной переменной (гл. 6) имеем дело с определенными парами чисел (1,2) = — 1 + для которых важен порядок их написания. Теперь займемся числами (или функциями), составляющими квадратную или прямоугольную таблицу. Для удобства числам присвоены два индекса, первый указывает номер строки, а второй —номер столбца, которым принадлежит данное число. Например, а1Л — матричный элемент первой строки и третьего столбца. На основании вышесказанного матрица А из т строк и п столбцов записывается в виде:
/aIl aIZ •••
A = I 021 022 й2" I . (4.14)
\CLtnl ClmZ • • • Cltnn/
Особенно важно отметить, что каждый матричный элемент aij не является комбинацией других элементов. Матрицу нельзя отождествлять с определителем, который равен просто числу, матрица — эта таблица упорядоченных чисел. Поэтому теряет всякий смысл операция сложения (или умножения) всех матричных элементов ац с каким-либо числом.
Как таблица чисел матрица А обладает определенными свойствами, о которых условливаются заранее. Мы постулируем, что матрицы Ay В и С с элементами aiJf btj и Cij соответственно подчиняются следующим правилам.
Равенство матриц. Матрицы А и В равны тогда и только тогдаДкогда atJ = btJ при любых і и / (при этом, конечно, 4.1 МАТРИЦЫ
159
предполагается, что А и В имеют одинаковое число строк и одинаковое число столбцов).
Сложение матриц. А + В = С в том и только в том случае, если a-tj Ь Ьц — CiJ при любых і и j (сложение матричных элементов происходит по обычным законам алгебры или арифметики, если в качестве элементов служат простые числа). Это значит, что А + В = В — А, т. е. сложение обладает свойством коммутативности. Кроме того, выполняется и ассоциативный закон: (A H- В) -YC = A + + (В + С).
