Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Упражнения
1. Тензор В можно определить через дуальный четырехмерный тензор второго ранга В':
b^bUhiBki-
Показать, чго В' преобразуется при вращении как тензор второго ранга, а при инверсии как исевдотензор.
2. С помощью тензора /, элементы которого заданы выражением (3.115), построить дуальный тензор/'.
Ответ: /'
V
Построение тензора/' соответствует замене сВ —> /Е, — iE сВ. Это преобразование, называемое иногда «дуальным», оставляет инвариантными уравнения Максвелла в вакууме (р = 0).
3. Показать, что с2B^-Ei и B-E инвариантны.
4. Показать, что при совпадении хотя бы двух индексов X1 ц н v уравнение (3.119) вырождается в тривиальное тождество 0=0.
б. Записать условие Лоренца (3.105) в виде тензорного уравнения в пространстве Минковского.
vi %
6. Показать, что выражение 2j~dx~~® соответствУет условию
M- ?
непрерывности заряда и тока (см. разд. 1.7). Если известно, что это уравнение справедливо во всех лоренцевых системах отсчета, то почему нельзя утверждать, что /ц—вектор?
7. Калибровочное преобразование состоит в том, что скалярный и векторный потенциалы Cp1 и Ai можно брать в виде
ду
<P2 = <Pi + _Jp A2==Ai-Vx-
При этом новая функция % удовлетворяет однородному волновому
02 Y
уравнению V2X--S(M)-^f- = O. Доказать, что 1) преобразование
Лоренца остается без изменения; 2) новые потенциалы удовлетворяют тем же неоднородным волновым уравнениям, что и первоначальные: 3) поля E и В не изменяются. ГЛАВА 4
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
4.1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Мы начнем изучение матриц с обобщения некоторых свойств определителей, поскольку они применяются в математическом аппарате матриц, а также отчасти из желания выяснить, что вообще можно называть матрицами.
Свойства определителей. Определитель записывают в виде квадратной таблицы чисел или функций, которая состоит из п строк и п столбцов
«і bi Ci ...
02 b2 C2 ...
D = Яз ь3 C3 ...
ап Ьп YTl • • •
(4.1)
Величина п называется порядком определителя. Выраженный через свои элементы опредеяштель имеет вид
D= S $uh..?ibjCk ..(4.2)
1 Ji ft* і •
Где бUh...у аналогично символу Леви — Чивита (разд. 3.4) равно +1 для четного числа перестановок индексов (1, 2, 3, . . п), — 1 для нечетного числа перестановок и нулю в случае повторения любых двух индексов. В частности, для определителя третьего порядка
щ bi C1
D= а2 Ь% C2 (4.3)
а3 b3 C3
уравнение (4.2) дает
D = +?ite — a\b3c2 + ^b3Ci — — a2b{c3 + CtsbiC2 — a3b2Ci.
(4.4) 154 І*'Л А В А 4. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Таким образом, определитель третьего порядка представляет собой обычную линейную комбинацию произведении трех сомножителей. Каждое произведение содержит один и только один элемент из каждой строки и из каждого столбца, причем оно положительно, если число перестановок, которым достигнут порядок индексов в этом произведении, четно (относительно перестановки столбцов a, b и с или чисел 1, 2 и 3), и отрицательно, если число перестановок нечетно.
Некоторые свойства определителей п-го порядка следуют уже из уравнения (4.4), поэтому воспользуемся им для иллюстрации этих свойств.
Представление определителя с помощью миноров. Уравнение (4.4) можно (разложение Лапласа) переписать так:
D = O1 (Ь2с3—b3c2)—а2 (biC3 — b3c{) + а3 (I)1C2 — b2c{) =
Ь2 C2 b і Ci bi C1
— а?, 'I-CF3
Ih C3 l>2 C2
И вообще, определитель п-го порядка можно представить в виде линейной комбинации произведений элементов любой строки (или любого столбца) и определителей (п — 1)-го порядка, образованных вычеркиванием і-й строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит элемент ац определителя. Полученный таким образом определитель (п — 1)-го порядка (в данном случае второго) называют минором и обозначают Afii7-. Минор, взятый со знаком (—l)t+J, называют алгебраическим дополнением к элементу, который находится на пересечении ац, и обозначают Сц. Теїіерь уравнение (4.5) можно переписать так:
г—1 г= і
В данном случае разложение произведено по первому столбцу, j-- 1, а суммирование производится по і.
Такое представление называют разложением Лапласа. Оно удобно для оценки определителей высокого порядка, в которых большое число элементов равно нулю. Например, 4.1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
155
определитель
D-
0 1 1 о
О О О О
О О О О
0 1
1 О
(4.6)
если разложить его но верхней строке, имеет вид:
-I 0 0 О 0 1 0-10
0,.(-1)1+2(1)
(4.7)
Повторное разложение но верхней строке дает
?> = (_1)(-1)ні(-1)
0 1 0 1
-1 0 -1 0
= 1.
(4.8)
Вычисленный определитель D образован из элементов одной из матриц Дирака, рассматриваемых в релятивистской теории электрона.
Антисимметрия. Определитель изменяет знак на обратный, если поменять местами любые две строки или любые два столбца — это свойство антисимметричности следует из четно-нечетного характера множителя б в уравнении (4.2); более ясно это видно из уравнений (4.3) и (4.4) *. Оно использовано в разд. 3.4 в связи с построением антисимметричной линейной комбинации. Кроме того, им часто пользуются в квантовой механике при записи волновой функции системы многих частиц, которая в соответствии с принципом Паули должна быть антисимметрична при перестановке любых двух одинаковых частиц со спином V2 (электроны, протоны, нейтроны и т. д.).
