Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы сделать определение вектора более полным, необходимо выяснить смысл величин Ax и Ay в уравнениях (1.9). Предположим, что компоненты А — функции координат и, кроме того, некоторого постоянного вектора с:
Ax = Ax (.X, у, сх, су), Ay = Ay (х, у, сх, су). (1.10)
В повернутой системе координат А имеет компоненты Ax и Ayt которые также зависят от координат этого вектора (в этой же системе) и с:
Ac = Ax (х , у , сХ1 су)1 Ay — Ay (х , у , сХі Су). (1*11)
Используя уравнения (1.8), координаты x't y't cXi су можно выразить через координаты неподвижной системы и угол поворота ф. Вообще должна4существовать некоторая зависимость от угла поворота. Однако такая зависимость от ориентации нежелательна. Она означает, что, вопреки исходному предположению, можно выделить некоторую преимущественную систему. Поэтому мы ограничимся 1 функциями, которые не зависят от ориентации. Очевидно, І4
глАвА і. векторный кнклШ
в частном случае, когда cp = 0, Ax = Axt Ay = Ay. Ясно, что Ax и Ay зависят от х\ у't с'х и су так же, как Ax и Ay
ОТ Xt yt Cxt Су.
Пример 1. Дана пара величин (—у, х). Показать, что эти величины образуют двумерный вектор.
Исследуем, как преобразуются эти величины при повороте системы на угол ф. Имеем
Vx= —у cos ф+X sin <р, V^=у sin ф~{-Jf COS ф,
где Vx- — г/, Vj,=*. Используя (1.8), получаем Vx=—y\ Vy =Xf1
т. е. данная пара величин удовлетворяет уравнениям (1.9), определяющим двумерный вектор. Таким образом, пара (—я) представляет собой компоненты вектора.
Пример 2. Рассмотрим V—\x—jy "-=(*» —у)• Согласно (1.9), Vx =-х' ~X cos фH-1/ sin ф} Vy~— y' — xsm ф—у совф. Подставляя
Vx~x и Vy-—у, получаем
Vx — Vx cos ф—Vy sin ф, Vy-Vx sin ф-|- Vy cos ф.
Эти соотношения не удовлетворяют данному определению вектора. Следовательно, пара (х, —у) не может быть вектором.
Многие авторы предпочитают называть функции Ax и Ayi удовлетворяющие уравнениям (1.9), компонентами (двумерного) векторного поля. Однако в отличие от векторных полей существуют постоянные векторы, например і и j, которые вообще никак не преобразуются, т. е. зависимость і' от xf и у' такая же, как и от х и у. Действительно, вектор і вообще не зависит от х и у и является постоянным.
Для перехода к трех- и «-мерному пространству удобно воспользоваться более компактной записью. Пусть
X = X1, Ctii = СОБф, GS12 = Sin ф, j У^X2, ~ — sinф, а22 = С05ф. J Тогда уравнения (1.9) можно переписать так:
= CliiXi -j- UtfXz, Xz — ClrZiXi -f- 022-^2* (1.13)
Коэффициент atj можно отождествить с направляющими косинусами (как косинусом угла между х\ и xj), т. е.
а12 = cos (xv xz) — sin ф, aZi = cos (x'2, Xi) — cos Iф + у) = — sin ф. І.й. ПОВОРОТ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
ІЗ;
Преимущество новой записи * в том, что можно ввести символ суммирования 2 и переписать уравнения (1.13) в виде
2
Xi= S CtiJxJy і = 1» 2- (1.14)
Заметим, что индекс і оставлен здесь как параметр, который дает первое уравнение, если положить его равным 1, и второе уравнение, когда он равен 2. Очевидно, / — индекс суммирования и, так же как и переменная интегрирования, может быть обозначен любой другой буквой.
Теперь очень легко произвести обобщение на случай трех, четырех и более измерений. Набор из N величин Vj определяет компоненты Лґ-мерного вектора V тогда и только тогда, когда значения этих величин в повернутой системе координат задаются с помощью формулы
Vi=^aijVjf ?==1, 2, N. (1.15)
3=1
Как и раньше, atJ есть косинус угла между х\ и Xj.
Исходя из определения atJ как косинуса угла между положительными направлениями осей лч, и xJt можно записать в декартовых координатах **
дх- дхі
= . <1Л6>
Подчеркнем, что это частные производные. Подставляя (1.16) в (1.15), получаем
J= 1 J= 1
* Читателя может удивить замена одного параметра (р четырьмя: atj. Очевидно, что коэффициенты Ciij не дают минимального набора параметров. В случае двух измерений четыре коэффициента ^ij удовлетворяют трем соотношениям, записанным в форме (1.18). Оправданием для более многословной записи набора направляющих косинусов служит удобство такой записи. Это станет более очевидным при чтении гл. 3 и 4.
** Нужно продифференцировать^ = ^dijXj по Xj. См. обсуждение формулы (1.21). 16
ГЛАВА 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Направляющие косинусы а^ удовлетворяют условию ортогональности
SaufliA = Ад, (1.18)
г
или, что то же самое,
S Ctjidki = Sjk- (1-19)
і
Здесь o7-ft—дельта-символ Кронекера, определенный как
( 1 ДЛЯ / = kj
6^=In ^tJ (1.20)
I 0 для ]Фк.
Подстановкой dtJ из (1.12) легко убедиться, что уравнения (1.18) и (1.19) справедливы и для двумерного случая. В результате для / = k имеем хорошо известное тождество
Sin2 ф + COS 2ф = 1.
Чтобы убедиться в справедливости уравнения (1.18) в общем случае, можно использовать выражение (1.16):
Zl дхі дхі ~ Zl дх\ dxk - dxk ' ^
і і
Последнее равенство в (1.21) вытекает из обычных правил нахождения ЧаСТНОЙ ПрОИЗВОДНОЙ В ПреДПОЛОЖеНИИ, ЧТО Xj есть функция x'lt х'2, x's и т. д. Конечный результат, OxjIdxky равен бJk, так как Xj и Xk k) предполагаются взаимно перпендикулярными (для двух или Tpexf измерений) или ортогональными (для любого числа измерений). Очевидно, если / = частная производная равна 1.
