Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Напряжение. Напряжения, или силы, необходимо определять с особой тщательностью. Обратимся к рис. 3.4, на котором показан элемент объема, и обозначим символом S.O. t ПОРИ Я УПРУГОСТИ
141
PijdA силу, действующую в направлении Xi на площадку dA, перпендикулярную к направлению Xj. Pij имеет смысл давления (сила/площадь). Необходимо помнить, что, как только речь идет о силе, величина Pij должна умножаться на соответствующий элемент поверхности. Эти силы, действующие на малый параллелепипед, показаны на рис. 3.4. Чтобы не загромождать рисунок, на нем представлены
только те силы, которые действуют на три ближайшие фронтальные грани. Если предположить, что напряжения изотропны, то силы, приложенные к противоположным поверхностям, будут иметь обратные знаки (рис. 3.5). Заметим, что г 21 характеризует сдвиг грани в направлении X2. При изотропных напряжениях на внешнюю среду со стороны поверхности действует та же самая сила P2i. В свою очередь сила, приложенная к поверхности В, направлена в отрицательном направлении оси Jt2 и также равна P2i. В основе этих выводов лежат три положения, которые нужно выделить отдельно: 1) напряжения изотропно передаются в твердом теле; 2) существует статическое равновесие; 3) отсутствуют внутренние силы (например, гравитационные) и вращающие моменты (внешнее магнитное поле, действующее на магнитные домены). W
глава з. тізогміий анализ
Эти допущения позволяют наложить дальнейшие ограничения на PiJ. Рассмотрим вращающий момент, который вызывает вращение параллелепипеда, изображенного на рис. 3.4 и 3.6, вокруг оси х3. Нормальные силы Рц не создают момента. Силы сдвига P31 и P32 также не создают момента, так как имеют нулевое плечо. Силы сдвига Pi3
и Pzz уравновешены равными, но противоположно направленными силами на нижней грани (Jr3 = 0). Остались два вращающих момента
P21 (dx2dx3) dxif Ріг (dXidxз) dx2, (3.77)
которые, если вращения нет, надо приравнять друг другу:
PZidxidx2dx3 = = Pl2dxidx2dx3, (3.78)
т. е. P21 = P12.
Проведя аналогичные рассуждения в случае отсутствия вращения вокруг осей Xi и x2i получим общее соотношение
Pij = Pjh (3.79)
которое подчеркивает равенство абсолютной величины, а не направления, заданного первым индексом.
Таким образом, таблица элементов, описывающих силы (давление) PiJ симметрична. Теперь мы видим, что этой таблицей определен тензор. Образуем далее бесконечно малый тетраэдр с наклонной гранью, площадь которой равна dA и перпендикулярна к направлению х}, как показано на рис. 3.7. Силы, приложенные к наклонной грани, равны Pij dA. Силы, действующие на остальные грани Xi = 0, х2 = 0 и X3 = 0, равны соответственно Pmi (cijidA), Pmz (aj2dA), Pm3 (aj4A); ajkdA — площадь грани xh = '0, которая задана как проекция наклонной грани dA на плоскость Xk — 0. Величина a}k представляет собой обычный направляющий косинус, т. е. косинус угла между осями Xj и Xh.
Рис. 3.6. Однородные напряжения. Равновесие крутящих моментов.
•і 3.g. теория упругости j43
Сила PmIttjidA направлена вдоль xltl. Ее проекция на направление х[ равна aimajiPmidA (суммирование не производится). Если затем просуммировать по индексу т, то это выражение определит сумму ^-компонент трех сил, приложенных к задней грани Xi — 0 в лч-направлении. Наконец, просуммировав по всем трем граням, получим полную
силу, действующую вдоль Xi, при условии статического равновесия:
^imdjhPmh dA = Pij dA. (3.80)
Поскольку элемент площади dA выбран произвольно, можно перейти к соотношению
Pij-OimajkPmh1 (3.81)
которое в соответствии с определением показывает, что Pmh — тензор.
Закон Гука. Во-первых, будем предполагать, что упругое твердое тело изотропно. В дальнейшем мы возвратимся к общему случают анизотропии. Рассмотрим однородный стержень, параллельный оси ,v*. Если растягивающая сила
* Такой специальный »ыбор в конечном итоге приведет лас к системе главных осей (гл. 4), характерная особенность этой системі-! заключается п исчезновении деформации един га, 144
Г Jl Л В Л 3. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Pu невелика то
?t]ii = Pu, ?т|22= — CfPii, ?іізз = —оРII, (3.82)
где E — модуль Юнга; о — отношение Пуассона. Добавление дополнительных малых P22 и Pзз приведет первое уравнение (3.82) к виду
Er\u = Pu — CiP22 — аР33. (3.83)
Здесь мы ограничились малыми силами и деформациями, поэтому эти величины будут связаны линейной зависимостью. Перепишем уравнение (3.83)
Ег\и = (1 + ff) Pu — о (Рц + P22 + P33). (3.84)
Аналогичные выражения получаются для ?т}22 и Ег\33.
Как было показано, Tiij- и Pij являются тензорами. Вследствие симметрии выбранной системы недиагональные элементы этих тензоров равны нулю. Для обобщения уравнения (3.84) на произвольно ориентированную декартову систему координат мы произведем вращение системы
Tiij-OiAaj-AilAAi Pij=^aihajhPhk' (3.85)
Если умножить уравнение (3.84) на ааа;и а уравнения для Eii22 и ?"433 соответственно на ai2aj2 и ai3aj3 и сложить полученные уравнения, то
Eaikajky\hh --=(1+ ff) CLihCtjhPhk — ff (Р,т) alkajk. (3.86) Используем (3.85) и (3.18), тогда
