Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
где t — время. Указанное объединение пространства и времени проводится в специальной теории относительности. Преобразования, которые в специальной теории относительности описывают вращение в четырехмерном пространстве, называются преобразованием Лоренца.
В некоторых приложениях, особенно при квантовомеха-ническом рассмотрении момента количества движения, не совсем удобно пользоваться тензорами в декартовой системе координат. В математическом смысле общий тензор второго ранга Aij можно разложить на тензоры более низкого ранга. Действительно, мы уже прибегали к такому приему. В соответствии с уравнением (3.25)
A = Ait (3.55)
есть скаляр — след тензора Aij. Антисимметричная часть,
Bu = -J(Aij-Aji)i (3.56)
как было показано, эквивалентна псевдовектору, т. е.
^ij = Си (циклическая перестановка i, /, k). (3.57)
Вычитая скаляр А и вектор Ck из первоначального тензора, получаем неприводимый симметричный тензор второго ранга Sij, который имеет пять независимых компонент с нулевым следом:
Si/ = у (А,+ 4*)-j Л*,,. (3.58)
После этого первоначальный тензор, заданный в декартовых координатах, можно окончательно записать в виде
At, = j Abij + Ch + Sij. (3.59)
Щ
Три величины Л, Ck и Sij образуют сферические тензоры нулевого, первого и второго рангов соответственно и преобразуются подобно сферическим функциям Yl (гл. 12) с L = 0, 1 и 2. 3.5. аффиноры
135
Упражнения
1. Задана антисимметричная таблица, элементы которой (Ci, C2, C3) образуют псевдовектор,
/ О C3 -С2\ / О C12 C13 \
-C3 О C1U-C12 О C23 . \ C2 -C1 О/ V-C13 -C23 о /
Предполагая, что соотношение Cj = (1/2!) BijkCjk выполняется во всех системах координат, доказать, что Сд— тензор (здесь в другом виде сформулирована теорема частного).
4
Id2 V! O2
2. Оператор Vі—можно записать в виде суммы »
i=l 1
в которой дс4= ict. Этот четырехмерный лапласиан, обычно называемый даламбертианом, обозначают символом I р. Показать, что Q2— скалярный оператор.
3. Показать, что Ьц~3, bijtijk = 0, Eipqejpq~26ijt BijkBijk-Ъ.
4. Показать, что Bijk-BpqJl = 6^6^-6^6^.
5. Проверить, что каждый из следующих тензоров четвертого ранга: ojjojm, 6^6^ + 6^6^, oifto^—б^бд изотропен, т. е. форма каждого из них не зависит от вращения системы координат.
6. Применив инверсию, доказать, что изотропный тензор в действительности имеет псевдотензорную природу.
3.5. АФФИНОРЫ *
Аффинор введен с целью распространить правила обычного векторного анализа на тензоры второго ранга. Возьмем два вектора і и j и образуем комбинацию ij. Эта комбинация и называется аффинором. Умножение (скалярное или векторное) слева заключается в перемножении левого множителя на первый множитель из пары, записанной справа.
A-lj — IilA9 + \АУ + k A1). i] j = AeJ. (3.60)
Умножение справа предполагает обратный порядок, т. е.
ij - А = і [j - (ІЛХ + )Ау + kAz)] j = IA9. (3.61)
Отсюда видно; что, вообще говоря, операция умножения не коммутативна. Нужно четко представлять, что inj, образующие аффинор ij, не взаимодействуют друг с другом.
; * Иногда, особенно в старой литературе, аффиноры называют диадами.— Прим. перев. 136
Г JI А В А 3. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Если они имеют скалярные коэффициенты, то эти коэффициенты перемножаются, сами же единичные векторы не образуют ни скалярного, ни векторного произведения. Итак, порядок имеет существенное значение, т. е. ij Ф j і. При изучении матриц (гл. 4) н комплексных чисел (гл. 6) мы вновь встретимся с такой же зависимостью. Комплексное число фактически представляет собой упорядоченную пару вещественных чисел.
Теперь образуем комбинацию двух векторов А и В:
7 = AB = (i Ac -{-] Ay + kAz){\Bx + ]ВУ -f kBz) =
= WAxBx + і j AxBy + XkAxBl + j і AvBx + + У)AyBy + 'MyBz + kiAzBx kjAzBy + kkAzBz. (3.62)
Величина T= AB представляет собой аффинор, образованный, как показано выше, из комбинации аффиноров. Было установлено (см. разд. 3.2), что произведение двух векторов AB — тензор второго ранга. Следовательно, аффиноры тоже являются тензорами второго ранга, записанными в форме, которая подчеркивает их векторное происхождение, но, с другой стороны, такая форма записи несколько затемняет тензорные свойства преобразования.
Уже отмечалось, что операция умножения вектора и и аффинора не коммутативна, однако существует один важный частный случай, когда эта операция обладает свойством коммутативности. Возьмем аффинор AB и положим
a-AB-AB а, (3.63)
где а —произвольный вектор. Если а = і, то AJl = ABx, т. е.
іAxBx + )АхВу -{- kAxB2 = іAxBx + jAyBx + кAzBx. (3.64)
Приравнивая отдельные компоненты друг другу, получаем
AxBx = AxBxt AxBy = AyBxj AxBz = AzBx, (3.65)
т. е. А = сВ, где с — постоянная. Иначе, если умножение на произвольный вектор коммутативно, то аффинор должен быть симметричным. И наоборот, при симметричном аффиноре операция умножения коммутативна.
Одно из наиболее важных свойств симметричного аффинора заключается в том, что специальным выбором координатных осей его всегда можно представить в нормальной 3.5. АФФИНОРЫ
