Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
V Oqj )
dl
равен нулю в декартовой системе координат и, следовательно,
dqj
он равен нулю и во всех других системах, подчиняющихся соотношению qI = CtijXj. Поскольку предполагается, что qi не являются декартовыми переменными, коэффициенты преобразования сч j не будут направляющими косинусами.
3.3. ПРАВИЛО ЧАСТНОГО
Если Ai и Bj- векторы, то легко доказать (см. разд. 3.2), что AiBj- тензор второго ранга. Рассмотрим теперь ряд обратных зависимостей. Пусть заданы уравнения
KiAi = Bi (3.29а)
KijAj = Bu (3.296)
KijAjk = Biki (3.29в)
KijkiAij = Bhh (3.29г)
KijAk = Bijk. (3.29д)
В каждом из этих уравнений А и В — известные тензоры, ранг которых определен числом индексов и, кроме того, А произволен. В каждом случае К— неизвестная величина. Нам необходимо установить поведение величины К при ее преобразовании. Согласно правилу частного, если интере-- сующее нас уравнение выполняется в любой вращающейся (повернутой) декартовой системе координат, то К — тензор указанного ранга. В качестве иллюстрации остановимся на уравнении (3.296). Учитывая векторные свойства преобразования Bt можно записать, что в неподвижной системе координат
KijAtj = Bi = aikBk. (3.30)
Уравнение (3.296) справедливо в любой вращающейся 128 . Г Jl А В A 3. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
декартовой системе координат, поэтому
(IihBh = Ctih(KkiAi). (3.31)
В последнем уравнении вновь запишем А во вращающейся системе координат* [см. уравнение (3.9)]:
KljA) = QihKhiajiAu (3.32)
тогда
(Kij-aihajiKhi) Aj = O. (3.33)
Последнее равенство выполняется при любом і и в любой вращающейся системе. Поскольку Aj произвольно **, то
Kij = CtikajiKkh (3.34)
что совпадает с определением тензора второго ранга.
Аналогично можно рассмотреть другие уравнения (3.29) и получить соответствующие варианты выражения (3.34). В заключение следует предостеречь от неправильного применения правила частного. Оно может не выполняться, если B = 0. В этом случае свойства преобразования не определены.
3.4. ПСЕВДОТЕНЗОРЫ
До сих пор все преобразования системы координат ограничивались чистым вращением. Рассмотрим теперь операцию отражения, или инверсии. Если заданы коэффициенты преобразования atj = -S0-, то из уравнения (3.7)
Xi=-Xi. (3.35)
Полученная зависимость характеризует инверсию. Существенно, что это преобразование заменяет первоначальную правую систему координат на левую. Радиус-вектор г с компонентами (х\, Хг, х3) трансформируется в r=(jq, х'2> —
* Существенно обратить внимание на порядок индексов направляющих косинусов aji в этом обратном преобразовании
і і
•
** Можно, например, положить Ai — I, а Am — 0 для тф 1.
Из этого условия сразу получаем уравнение Kii~aih ац Kkb Остальные компоненты уравнения (3.34) получаются при другом
специальном выборе Aj. 3.4. псевдотензоры
129
c^ (—Xll ——X3). Этот новый вектор имеет отрицательные компоненты относительно новых преобразованных осей. Как видно из рис. 3.1, одновременное изменение знаков как у осей, так и у компонент не меняет вектора (направление в пространстве). Радиус-вектор г и все другие
V
Рис. 3.1. Инверсия декартовых координат. Полярный вектор.
векторы, которые ведут себя аналогичным образом при отражении, или инверсии системы координат, называются полярными векторами.
Совершенно по-другому ведет себя вектор, равный векторному произведению двух полярных векторов. Пусть C = AxB, где А и В — полярные векторы. Уравнение (1.33) определяет компоненты С:
C1 = A2B3- A3B2 (3.36)
и т. д. После инверсии системы координат Ai-*—Ait і Bj-+ —Bj1 но Ch —Cft*, т. е. С при инверсии ведет себя не так, как полярный вектор. Чтобы различать их, мы назовем вектор С псевдовектором или аксиальным вектором (рис. 3.2). Аксиальные (осевые) векторы часто используются потому, что они возникают при описании процессов, связанных с вращением. Например, угловая скорость ю=г X V, момент количества движения L = г X Р, момент вращения L = г X f, магнитное поле В, для которого dB/dt = — VxE. Как видно, аксиальные векторы часто используются в физике* хотя это обычно не подчеркивается. В правой системе координат вектор С характеризует вращение, которое связывают с правилом правой руки (см. разд. 1.4). В левой, инвертированной системе, вращение изменяется на левое. Это показано круглыми стрелками на рис. 3.2,
9-1257 130
Г Jl Л В Л 3. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Вообще говоря, псевдовекторы и псевдотензоры преобразуются по формулам
Ci = I a I Cti jCj, A'ij = \a\ aikanAhh (3.37)
где j а I — есть определитель, составленный из элементов таблицы для коэффициентов атп. В случае инверсии опре-
X Я
Рис. 3.2. Инверсия декартовых координат. Аксиальный вектор.
делитель имеет вид
а
10 0 0-1 0 О 0-1
-1,
(3.38)
При инверсии одной лишь оси X
-10 0
a I =
0 0
1 0
0
1
= -1,
(3.39)
и снова определитель | а | = — 1. С другой стороны, для любого чистого вращения определитель I а | всегда равен +1. На этом мы подробнее остановимся в разд. 4.3. Величины, которые преобразуются в соответствии с (3.37), часто называют тензорными плотностями. Они ведут себя как обычные тензоры при вращениях, однако при инверсии координат возникает дополнительный отрицательный знак перед определителем I а |, что является единственной отличительной особенностью.
