Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
1) сферы с центром в начале координат и радиусом = const:
je2 + у* + 22 = Й; (2.134)
2) эллиптические конусы (вершины конусов совпадают
с началом координат, а оси —с осью z, ^2 = const):
^ + = (2Л35)
3) эллиптические конусы (вершины конусов совпадают с началом координат, а оси —с осью х, I3 = const):
X* - У2 I 23 /2 П6Ї
Как и в разд. 2.15, параметры b и с подчиняются условию
с2>Ц>Ь*>Ц. (2.137)
Разрешая уравнения (2.134)-(2.136) относительно х2, у2 и Z2, получаем формулы преобразования
[ ьс )> У ЬЦО-Ь*)
її) ' { }
С2(С2_62)2.17. СОФОКУСНЫЕ ПАГ>АВОЛ0ЙДАЛЬИЫЕ КООРДИНАТЫ 117
1.1 —і— - ............ •'• ¦--
С помощью полученных формул и уравнения (2.6) вычислим коэффициенты Ламе:
Hi = Iiu - 1,
L ^h _ г If(Sl-Sl) 11/2 I
^"-^"Ui-^^-SDJ ' } (2.139)
h -h _r-MMzilL_l1/2 "з — «із — L (o2 — ІЮ (C-EI) J '
Эта нечетносферическая система координат почти нигде це использовалась. Однако в этой системе удалось описать собственные функции момента количества движения в задаче об асимметричном роторе *.
2.17. СОФОКУСНЫЕ ПАРАБОЛОИДАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ Sli I2, h
За исключением биполярных, тороидальных и бисфери-ческих систем координат, все остальные можно получить из софокусной эллипсоидальной системы (разд. 2.15). Последней в ряду этих вырожденных систем стоит система координат софокусных параболоидов. Для нее координатными поверхностями являются:
1) софокусные параболоиды с эллипсом в сечении (направление осей совпадает с отрицательным направлением оси z, Ii = const):
7??-+*?- + 2* + &i=0; (2.140)
2) гиперболические параболоиды, ^2 = Const:
J^w + 2г + і2=0; (2.141)
3) софокусные параболоиды с эллипсом в сечении, направление осей совпадает с положительным направлением оси г, ?3 - const:
J^W + J^W-2*-із=0. (2.142)
Как и в разд. 2.15 и 2.16, параметры а2 и Ь2 и независимые переменные подчиняются неравенствам
_ Ез>а2>?2>62>51. (2.143)
* S р е п S е R. D. Amer. J. Phys., 27, 329 (1959).IIS
ГлАвА 2. сйбТЁмы КобрдийАТ
Уравнения преобразования имеют вид
у2 (Q2-Ii) (а2~Ш1з- а2) х - ф-Ь*
у а2—Ь%
2 Vі* і v »і »z Із)*
Отсюда коэффициенты Ламе равны
і Г Cfa-Ei) (Із11Z2
hi = % = 1 2
h2 1 2
h 1 2
(Ss-Ei) (Ь-ЬП1Z2 Cg3-O2Xis-Ь2) J
(2.144)
(2.145)
Эта система используется в электромагнитной теории
*
¦Maxwell J» С. A Treatise on Electricity and Magnetism. Vol. i. 3rd ed. Oxford, Oxford University Press, 1904, Ch. X.ГЛАВА З
ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
3.1. ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Тензоры играют важную роль во многих областях физики, в частности в общей теории относительности и электромагнитной теории, широко используются при изучении анизотропных (упругих, оптических, электрических и магнитных) свойств твердого тела. Здесь же в качестве примера рассмотрим закон Ома в обычной форме
j = стЕ, (3.1)
где j — плотность тока; E — электрическое иоле; о —электропроводность. Если изучаемая среда изотропна, то а -скаляр и, например, для х-компоненты тока выпoлняeтq равенство
/і = OE1. (3.2)
Однако, если среда анизотропна, как, например» во многих кристаллах, плотность тока в ^-направлении может зависеть от электрических полей в у- и z-направлениях. Предполагая линейную зависимость, можно переписать уравнение (3.2) в виде
/і = GiiEi + GuE2 + <т13?3, (3.3)
или, в общей форме,
jI = Jj OtkEk- (3.4)
А
В обычном трехмерном пространстве скалярная электропроводность задается набором девяти элементов сг^:
(Oil Oi 2 O13X
O21 O22 O23 I. -(3-,5)
O3I O32 O33J
В разд. 3.3 показано, что эта таблица из девяти элементов определяет тензор.120
Г Jl А В А 3. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Величины, которые не изменяются при повороте системы4 координат, т. е. являются инвариантными, в гл. 1 были определены как скаляры. Величины, компоненты которых преобразуются по тем же законам, что и компоненты радиу-са-вектора (уравнение (1.13), разд. 1.2), были названы векторами. Это свойство принято за определяющую характеристику вектора. Однако такое определение вектора
A = S atjAj, (3.6)
і
в котором коэффициенты au представляют собой набор косинусов угла между осями х\ и х}, содержит некоторую неопределенность.
Возьмем наш радиус-вектор г, тогда
^=2?*'- W
з
Если определить производные как
(3.8)
то уравнения (3.6) и (3.7) окажутся идентичными. Любой набор величин Ajf преобразующихся по закону
дх'
определяет контравариантный вектор.
Однако мы уже знакомы с несколько иным типом векторного преобразования. Градиент скаляра, определенный как
^g+jft+'ft <ЗЛ0>
(для X, у и Z использованы обозначения хи X2, и X3), преобразуется по закону
(злі)
дх{ dxj дх\ * v '
j
где ф = ф (х, у, г) — ф (х', у', zf) = ф' — скаляр. Заметим, что уравнение (3.11) отличается от (3.9), поскольку вместо dx'i/dxj имеем dxj/dxi Уравнение (3.11) определяет ковари-антный вектор. Примером такого вектора служит градиент скаляра.3.1. ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 121
В декартовых координатах
dxj дх[