Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арфкен Г. -> "Математические методы в физике" -> 31

Математические методы в физике - Арфкен Г.

Арфкен Г. Математические методы в физике — М.: Атомиздат, 1970. — 712 c.
Скачать (прямая ссылка): matematmetodivfizike1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 185 >> Следующая


1) сферы с центром в начале координат и радиусом = const:

je2 + у* + 22 = Й; (2.134)

2) эллиптические конусы (вершины конусов совпадают

с началом координат, а оси —с осью z, ^2 = const):

^ + = (2Л35)

3) эллиптические конусы (вершины конусов совпадают с началом координат, а оси —с осью х, I3 = const):

X* - У2 I 23 /2 П6Ї

Как и в разд. 2.15, параметры b и с подчиняются условию

с2>Ц>Ь*>Ц. (2.137)

Разрешая уравнения (2.134)-(2.136) относительно х2, у2 и Z2, получаем формулы преобразования

[ ьс )> У ЬЦО-Ь*)

її) ' { }

С2(С2_62) 2.17. СОФОКУСНЫЕ ПАГ>АВОЛ0ЙДАЛЬИЫЕ КООРДИНАТЫ 117

1.1 —і— - ............ •'• ¦--

С помощью полученных формул и уравнения (2.6) вычислим коэффициенты Ламе:

Hi = Iiu - 1,

L ^h _ г If(Sl-Sl) 11/2 I

^"-^"Ui-^^-SDJ ' } (2.139)

h -h _r-MMzilL_l1/2 "з — «із — L (o2 — ІЮ (C-EI) J '

Эта нечетносферическая система координат почти нигде це использовалась. Однако в этой системе удалось описать собственные функции момента количества движения в задаче об асимметричном роторе *.

2.17. СОФОКУСНЫЕ ПАРАБОЛОИДАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ Sli I2, h

За исключением биполярных, тороидальных и бисфери-ческих систем координат, все остальные можно получить из софокусной эллипсоидальной системы (разд. 2.15). Последней в ряду этих вырожденных систем стоит система координат софокусных параболоидов. Для нее координатными поверхностями являются:

1) софокусные параболоиды с эллипсом в сечении (направление осей совпадает с отрицательным направлением оси z, Ii = const):

7??-+*?- + 2* + &i=0; (2.140)

2) гиперболические параболоиды, ^2 = Const:

J^w + 2г + і2=0; (2.141)

3) софокусные параболоиды с эллипсом в сечении, направление осей совпадает с положительным направлением оси г, ?3 - const:

J^W + J^W-2*-із=0. (2.142)

Как и в разд. 2.15 и 2.16, параметры а2 и Ь2 и независимые переменные подчиняются неравенствам

_ Ез>а2>?2>62>51. (2.143)

* S р е п S е R. D. Amer. J. Phys., 27, 329 (1959). IIS

ГлАвА 2. сйбТЁмы КобрдийАТ

Уравнения преобразования имеют вид

у2 (Q2-Ii) (а2~Ш1з- а2) х - ф-Ь*

у а2—Ь%



2 Vі* і v »і »z Із)*

Отсюда коэффициенты Ламе равны

і Г Cfa-Ei) (Із11Z2

hi = % = 1 2
h2 1 2
h 1 2

(Ss-Ei) (Ь-ЬП1Z2 Cg3-O2Xis-Ь2) J

(2.144)

(2.145)

Эта система используется в электромагнитной теории

*

¦Maxwell J» С. A Treatise on Electricity and Magnetism. Vol. i. 3rd ed. Oxford, Oxford University Press, 1904, Ch. X. ГЛАВА З

ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ

3.1. ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Тензоры играют важную роль во многих областях физики, в частности в общей теории относительности и электромагнитной теории, широко используются при изучении анизотропных (упругих, оптических, электрических и магнитных) свойств твердого тела. Здесь же в качестве примера рассмотрим закон Ома в обычной форме

j = стЕ, (3.1)

где j — плотность тока; E — электрическое иоле; о —электропроводность. Если изучаемая среда изотропна, то а -скаляр и, например, для х-компоненты тока выпoлняeтq равенство

/і = OE1. (3.2)

Однако, если среда анизотропна, как, например» во многих кристаллах, плотность тока в ^-направлении может зависеть от электрических полей в у- и z-направлениях. Предполагая линейную зависимость, можно переписать уравнение (3.2) в виде

/і = GiiEi + GuE2 + <т13?3, (3.3)

или, в общей форме,

jI = Jj OtkEk- (3.4)

А

В обычном трехмерном пространстве скалярная электропроводность задается набором девяти элементов сг^:

(Oil Oi 2 O13X

O21 O22 O23 I. -(3-,5)

O3I O32 O33J

В разд. 3.3 показано, что эта таблица из девяти элементов определяет тензор. 120

Г Jl А В А 3. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ

Величины, которые не изменяются при повороте системы4 координат, т. е. являются инвариантными, в гл. 1 были определены как скаляры. Величины, компоненты которых преобразуются по тем же законам, что и компоненты радиу-са-вектора (уравнение (1.13), разд. 1.2), были названы векторами. Это свойство принято за определяющую характеристику вектора. Однако такое определение вектора

A = S atjAj, (3.6)

і

в котором коэффициенты au представляют собой набор косинусов угла между осями х\ и х}, содержит некоторую неопределенность.

Возьмем наш радиус-вектор г, тогда

^=2?*'- W

з

Если определить производные как

(3.8)

то уравнения (3.6) и (3.7) окажутся идентичными. Любой набор величин Ajf преобразующихся по закону

дх'

определяет контравариантный вектор.

Однако мы уже знакомы с несколько иным типом векторного преобразования. Градиент скаляра, определенный как

^g+jft+'ft <ЗЛ0>

(для X, у и Z использованы обозначения хи X2, и X3), преобразуется по закону

(злі)

дх{ dxj дх\ * v '

j

где ф = ф (х, у, г) — ф (х', у', zf) = ф' — скаляр. Заметим, что уравнение (3.11) отличается от (3.9), поскольку вместо dx'i/dxj имеем dxj/dxi Уравнение (3.11) определяет ковари-антный вектор. Примером такого вектора служит градиент скаляра. 3.1. ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 121

В декартовых координатах

dxj дх[
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed