Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
1 6 cht]—cos J'
h = a
2 л cht]—cos J '
h =h = ashTl
3 ф ch і] —cos J '
Координатными поверхностями, образованными при вращении, служат:
1) сферы с центрами в точках (О, 0, a-ctg ?) и радиусами a I cosec Щ:
I = const, 2аг ctg \ ~ х2 -f у2 4* Z2 — а2,
О < g < 2я; (2.124)
2) тороиды
rj = const, О < I < 2я.
Центры кругов
4а2 (х2 + у2) cth2 т] = (х2 -f г/2 -f Z2 + а2),2 (2.125)
возникающих в поперечном сечении тороидов, расположены на расстоянии a-Cthrj от оси z и имеют радиус a»csh tj;
3) полуплоскости: ф = const, О ^ ф ^ 2л, проходящие через ось z.
В тороидальных координатах переменные в уравнении Лапласа полностью разделяются. Эта система\координат встречается довольно редко, однако она все же используется в некоторых физических приложениях (например, при описании вихревых колец).
Отметим, что переменные Tl, ф образуют левую систему. Чтобы сделать систему правой, нужно избрать для координат порядок 1], I, ф.
(2.122)
(2.123)
2.Н. БИСФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
ИЗ
Упражнение
Показать, что площадь поверхности тороида равна (2ла) • (2it6) = = 4я2а6, где а—радиус тора, Ь— расстояние от центра до оси.
2.14. БИСФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ л, ф
Обратимся вновь к биполярным координатам (разд. 2.9) и будем вращать плоскость ху (см. рис. 2.7) вокруг оси х,
Рис. 2.15. Бисферические координаты (стрелкой указано вращение вокруг оси симметрии).
при этом возникнут два семейства ортогональных пересекающихся сфер (рис. 2.15). Дополненные плоскостями
ъ-пм 114
ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
1
I = const
постоянного азимута, они образуют бисферическую систему координат, характеризующуюся уравнениями преобразования:
^_asin?cos ф a sin I sin у ^ a sh r\ ^ ^ ^
chr|—cos?'^ ch T]--cos ch т] — cos ^ ^ ' '
Опять за ось вращения примем ось г. В этом случае
1 ^ ch ті — cos E ' ,
• t } (2.127)
U _и _ а і _ и _ Q sin I 1 х >
2 11 ch т| — cos ^ * 14 ~ ch T]-cos? '
Тороидальная система характеризуется следующими координатными поверхностями:
1) поверхность вращения четвертого порядка (вращение вокруг оси г)
0<?<j, «воронки» вдоль оси z,
с. Я 4
1 = j , сфера,
— <?<я остРые выступы вдоль
2 5 ' оси Zy напоминающие рог Луны;
2) сферы радиусом а | csh т] | с центрами в точках
(О, 0, a cth rj): r\ = const, — оо < т] < оо;
3) полуплоскости: ф = const, О ф 2я, проходящие через ОСЬ 2.
В уравнении Лапласа переменные частично разделяются в этой системе, хотя в уравнении (2.1) в общем виде (при к2ФО) нельзя произвести такого разделения. Бисфериче-ская система координат используется в специальных задачах электростатики, например при вычислении электростатической емкости между проводящим шаром и проводящей плоскостью (см. упражнение).
Упражнение
Определить электростатическую емкость системы, состоящей из проводящего шара и проводящей плоскости (шар и плоскость не пересекаются). 2.15. СОФОКУСПЫЕ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ 1 (5
2.15. СОФОКУСНЫЕ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ |if I3
Эта обобщенная система координат образована тремя семействами поверхностей:
1) эллипсоиды (все оси различны), ^1 = Const:
f
+
Z2
1;
2) одиополостные гиперболоиды, J2 — const:
X2 , У2 Z2 ,
h-с2 '
3) двуполостные гиперболоиды, J3 = Const:
у2 z2 -1.
X2
а2-~1з h-b* h-c*
(2.128)
(2 Л 29)
(2 Л 30)
Постоянные af b и с — параметры, характеризующие эллипсоиды и гиперболоиды и удовлетворяющие неравенствам
а2 > із > ь> > S2 > с2 > ь.
(2Л31)
Отрицательные знаки перед некоторыми членами в уравнениях (2Л28) — (2Л30) появились благодаря этим неравенствам.
Переход от общих эллипсоидальных координат к декартовым осуществляется по формулам
(й2_у (а2_у (а2_у
У2
Z2 =
(я2 — fr2) (а2—с2) і
(Ь2- -Ii) (Ь2 —12) (1з- Ь2)
(а2—Ь2) (б2-с2)
(с2- -І1)(І2-С2)(Ь- -с2)
(2 Л 32)
(а2—с2) (б2—с2)
В результате громоздких выкладок получим коэффициенты Ламе:
1
ih—li) (Із ¦ Ii)
"І і/2 Л
hi-hx- 2 [(а2-Ы (b»-gf) (C2-I1)J Л _1Г (Із І2) (І2 Ii) I1/2
"2 - "fa - 2 |_(а2-?2) (Ь2__|2) (Ct-I2)J и _и _1Г (Із-Іі)(1з-У І1/2
2 L(а2 —13) (S3-*2) (I3-^2)J '
(2.133)
8* 116
ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1
Как и в уравнениях координатных поверхностей, симметрия этих соотношений нарушена требованием, чтобы каждый из полученных коэффициентов имел знак плюс.
Из уравнений преобразования (2.132) видно, что некоторой заданной точке P (I1, |2, Із) соответствует восемь возможных точек (±jc, ±у, ztz) в декартовой системе. Эта восьмизначность ликвидируется введением соответствующих условий, которые налагаются на знаки Iif J2 и із-
Несмотря на то что рассматриваемая система координат может найти применение в различных задачах математической физики, пользоваться ею трудно вследствие слишком общего характера, поэтому в дальнейшем мы ограничимся эллипсоидами с осью вращательной симметрии.
2.16. КОНИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ S1,Ыз
Эта система координат представляется одним из наиболее необычных (и наименее распространенных) вырожденных случаев софокусной эллипсоидальной системы координат. Координатные поверхности:
