Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Ответ: C^=Saeо, а = <р/4яа ~]/а2—г2 (на каждой стороне).
1 2.12. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ ц, <(
В разд. 2.8 описаны два семейства ортогональных софо-кусных парабол. Представим себе, что мы имеем семейство парабол, лежащих в плоскости ху (см. рис. 2.6), и вращаем их вокруг оси у} которая служит осью симметрии для обоих семейств кривых. В результате будут образованы два семейства ортогональных софокусных параболоидов. Делая такую циклическую перестановку координат, чтобы ось г стала осью вращения, мы получаем:
1) параболоиды ? = const, 0 ? < оо вокруг положительного направления оси г\
2) параболоиды т) = const, 0 < т] < оо вокруг отрицательного направления оси z;
3) полуплоскости ф — const, 0 ^ ф ^ 2л, проходящие через ось Z.
Как обычно, угол ф будем отсчитывать от оси х в плоскости ху, тогда
л; — Jr]cosф, у — sinф, z = j (т]2 — J2). (2.113)
* Vinti J. P. Phys. Rev. Letters, 3, 8 (1959).І 08
Ґ Л A O А 2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
Из уравнения (2.113) находим
(2.114)
Из рис. 2.13 видно, что |0х %= — q>o» т. е. параболическая система при заданном здесь , порядке переменных т), ф является левой. В соответствии с уравнениями
вращение вокруг оси симметрии).
(2.113) I и у] имеют размерность корня квадратного из длины. По этой причине некоторые авторы предпочитают использовать ?1/2 И T)V2 ВМЄСТО I И Г).
Параболическими координатами пользуются для анализа, эффекта Штарка * при описании расщепленных энергетических уровней атома, помещенного в электрическое поле.
*Бете Г., Солпитер Э. Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами. Перев. с англ. M., Физматгиз, I960.2.12. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
109
Эффект Штарка. Наличие внешнего электрического поля E0 вдоль положительного направления оси г добавляет к потенциальной энергии в волновом уравнении Шредингера дополнительный член —eE0z\
Й.2 р2
Требуется разделить переменные в этом уравнении. Используем уравнения (2.18) и (2.114):
= СЇІТТО) { і 0 f]+і [> §]} +
+ (2.116)
Кроме того,
r = u+ul. (2.117)
Подставим в исходное волновое уравнение (2.115) два последних выражения и функцию ф = / (J) g (т]) Ф (ф):
2М (JHn2)Li/ dl I5 dr\ р
^r m J2T|2 Ф ' J2-I-Tl2 2 S^ij u-
(2.118)
Положим
i-^=—2- (2-119)
тогда уравнение (2.118) можно легко свести к двум новым:
(2.120)
Постоянные А и В произвольны, но удовлетворяют условию А-\-В = 2е\110
Г Jl Л В Л Ч. ГИГ. ItiMM КООРДИНАТ
Упражнения
1. Рассмотрим свойство четности (свойство волновой функции оставаться четной или нечетной при инверсии координат). В декартовой системе координат инверсия, выраженная в операторной форме как действие оператора четности P1 имеет вид
Р{х, У, z) = ~x, —у, z.
Записать соответствующие операторные уравнения в следующих системах координат: 1) в сферической системе г, 0, ер; 2) в круговой цилиндрической системе р, ср, z\ 3) в координатах вытянутого сфероида и, V1 (р; 4) в координатах вытянутого сфероида т), ф; 5) в координатах сплющенного сфероида и, V1 (р; 6) в параболической системе
I, 1I. Ф-
2. Тяжелая частица движется внутри параболоида, ось которого вертикальна, а вершина покоится на земле. Показать с помощью множителей Лагранжа, что давление частицы на поверхность пропорционально кривизне параболы в этой точке. Замечание. Постановка данной задачи и множители Лагранжа обсуждаются в гл. 17.
3. Волновое уравнение для водородоподобпого атома имеет вид
A2
_ V2«-f Vu = Eu1 2 т
где V= -Ze2/г—потенциальная энергия электрона, а -полная энергия. Показать, что в параболических координатах это уравнение допускает разделение переменных. Показать, что переменные можно разделить и в координатной системе вытянутого сфероида, если ядро атома поместить в один из фокусов.
4. В волновом уравнении, описывающем процесс кулоновского рассеяния, V = (ZVe1)Ir1 где Ze и Z'e—заряды первой и второй частиц. Рассматривая задачу в параболической системе координат, показать,
что функция u = eikzf(l) определяет решение уравнения, в котором
/ (?) удовлетворяет вырожденному гипергеометрическому уравнению.
2 2 2
5. Определить hi, h-ц и hq>, если параболические координаты связаны с обычными декартовыми координатами соотношениями
* = Virj cos ф, у = Vfn sin ф, z = j {I—г]).
6. Исследовать трехмерную систему координат, образованную вращением плоской параболической системы т] из разд. 2.8 вокруг оси X.
2.13. ТОРОИДАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ і), <р
Эта система координат получается при вращении плоскости ху биполярной системы (разд. 2.9) вокруг оси у (см. рис. 2.7). Окружности, центры которых расположены по оси у (I — const), при таком вращении образуют сферы, а окружности с центрами по оси х (т] = const) — тороиды (рис. 2.14). Обозначим координаты так, чтобы ось вращениярис, 2.|4. Тороидальные координати. Поперечный разрез.112
ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1
совпала с осью г, тогда формулы преобразования
х _ ashijcoscp cht] — cosф '
_ a sh г] sin ф _ a sin ? ehr)—cosI ' Z~chti—cos?'
Отсюда