Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
T1 = A(ChM-I-Cosu), r2 — a (ch и — cos v) (2.100)
или
Ції-ch«, Ii=U = coeo. (2.101)
Это означает, что и зависит от суммы расстояний до двух ценэров, а V — от, разности этих расстояний.
Чтобы было удобнее пользоваться этой системой координат, сделаем замену переменных
51 = ch и 1<іі<оо;
52 = cosu —1<?2< І; їз = ф 0<5з<2я.
(2.102)
Специально подчеркнем, что тогда изменятся и коэффициенты Ламе, т. е.
H1 = Iicha^hll. (2.103) 104
ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1
Пример. Молекулярный ион водорода состоит из двух протонов, которые расположены в фокальных точках, и одного электрона. Запишем уравнение Шредингера для данной системы:
Переменные ГI и Ґ2 определены В соответствии С рис. 2.11, а Г і 2 — — 2а—расстояние между двумя протонами. Задача заключается в разделении переменных в уравнении (2.104).
В избранной системе координат вытянутого сфероида первый этап связан с вычислением коэффициентов Ламе
h я/й-а\1/2 и _я/Sb-aV72 ^ = aIlfzrrj >hb~a{T=Wj '
й?, = а(й-01/2(1-У)1/2.
(2.105)
Ъ'
Используя полученные коэффициенты и уравнение (2.18), находим
(IFoWil) ^S) • (2-,06)
Из уравнения (2.100)
ГІ ' (2'107) Подставляя (2.106) и (2.107) в уравнение (2.104) и считая, что
1>(6ь ЫЫ = Ii(Ii) к(Ы1з(Ы, (2.108) выделяем азимутальную зависимость
A2 г і id n dfi
2Ма (й-й' /i dU 1^iJ] +
і _L J^lti-nlklX-M t\-U' h ' dh L( b)dl2 JI fl
A2 і 1 d*f3
(2.109)
~2Ma (Ц-1)(1-0) fз dl\ '
Здесь E' — E—e2lri2~const. Как и в разд. 2.5 и 2.6, положим
1ГЖ—тг- (2Л10)
После этого равенство (2.109) упрощается: 2.1]. КООРДИНАТЫ СПЛЮЩЕННОГО СФЕРОИДА Ю5
Проверка убеждает нас, что переменные и І2 разделяются. Итак, получается одно дифференциальное уравнение второго порядка для определения Mii), а другое—для /2(У-
Упражнения
2 2 2
1. Вычислить Л|, ІІЦ И Лф(?, Т), ф) для | — Ch U И T| = COSU.
2. Показать, что huv = 0 (координаты вытянутого сфероида).
3. В квантовомеханическом рассмотрении молекулы водорода по методу Гайтлера —Лондона встречается интеграл
I = J_ f e-(ri+r2)/ao dx nag J
в котором интегрирование ведется по всему пространству. Ввести координаты вытянутого сфероида и вычислить этот интеграл.
Ответ: / = (1 + 2а/а0 + 4а2/За2) е~2а/а°.
4. Полагая | = ch«, t| = cosu, показать, что элемент объема в координатах вытянутого сфероида получается непосредственно из выражения
dx~ a3 (sh2 и-f- sin2 и) sh и sin v du dv d(p
и равен dx = —a3 (I2-I]2) dt, dr}dy. (Знак минус выбран для перемены местами пределов интегрирования по т|.)
5. В системе координат вытянутого сфероида с помощью объемного интеграла вычислить объем заданного эллипсоида, для чего использовать поочередно переменные и, V, ф и т], <р. Показать, что полученные результаты совпадают с обычной формулой объема эллип-
4
соида, в которую входят его полуоси: V = yJia(;fro» гДе ffO и &0~~ малая и большая полуоси.
2.11. КООРДИНАТЫ СПЛЮЩЕННОГО СФЕРОИДА и, V1 ц>
Вращая эллиптическую систему координат (см. разд. 2.7) вокруг малой оси эллипса, получаем другую трехмерную систему — систему координат сплющенного сфероида (угол ф по-прежнему азимутальный угол). Координатными поверхностями являются:
1) сплющенные сфероиды: и = const, 0 ^ и < оо;
Jt
2) однополосные гиперболоиды: v = const *, — у ^ < V < у;
* Область изменения и равна л, а в эллиптических цилиндрических координатах она составляет 2л. Отрицательные значения v приводят к отрицательным значениям г. 106
ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1
3) полуплоскости, проходящие через ось z: ф = const, 0 < ф < 2л.
Уравнения перехода к декартовым координатам можно записать так:
X ~ a ch и cos о cos ф, у = a ch и cos и sin ф,
Z = sh и sin v.
Рис. 2.12. Координаты сплющенного сфероида. Поперечный разрез (стрелкой указано вращение вокруг оси симметрии).
Коэффициенты Ламе равны:
Hi = Hu = CL (sh2 и + sin2 и)1/2 h2 = Hv = a (sh2 и + sin2 v)1/2
Поверхность и — const описывает сплющенный сфероид, который с хорошим приближением соответствует планетар* ной поверхности, поэтому эта система координат при-
; = a (cha и — cos3 о)1/2,1 , H3 = Aq, = a ch и cos v. J 2.і2. Параболические коорді-ніатьі іс>7
меняется при описании гравитационного поля Земли *. Системы координат вытянутого и сплющенного сфероида встретятся далее в разд. 12.10 при рассмотрении функций Лежандра второго рода.
Существенно заметить, что если вести отсчет угла ф, как обычно, от оси х в направлении оси у и требовать порядок (и, V, ф), то получается левая система. Это повлечет появление множителя (—1) в выражении для ротора. Чтобы система осталась правой, необходим такой порядок: (іи, м, ф), тогда (рис. 2.12) v0 X U0= +Фо, или в уравнениях преобра-' зоваиия заменить v на (л/2) — v.
Упражнения
1. Разделить переменные в уравнении Лапласа в координатной системе сплющенного сфероида. Решить дифференциальное уравнение с зависимостью от ф.
2. Тонкий проводящий металлический диск радиусом а имеет общий электрический заряд Q. Найти электростатическую емкость диска и распределение заряда на его поверхности.
