Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арфкен Г. -> "Математические методы в физике" -> 27

Математические методы в физике - Арфкен Г.

Арфкен Г. Математические методы в физике — М.: Атомиздат, 1970. — 712 c.
Скачать (прямая ссылка): matematmetodivfizike1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 185 >> Следующая


Рис. 2.7. Биполярные координаты.

(в плоскости ху), описываемые уравнением (2.84), проходят через обе эти точки, поскольку X = rfco, у = О — решения уравнения (2.84) при любых g.

Коэффициенты Ламе для биполярной системы координат равны

=апР55Гг I {2 85)

= =Chq-COser' J

Пусть заданы три точки (а, 0), (—а, 0) и (х, у) и два радиуса-вектора P1 и р2, расположенных под углами B1 и B2 к поло? жительному направлению оси х. Из чертежа (рис. 2.8) следует

р» = (* - ау + 0а. РЇ Н* + af + у2 ¦ (2.86, 2.9. БИПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ

99

(2.87)

(2.88)

и

Введем обозначения

Ї|І2 = 1п (—-) , I42 = O1-O2.

Найдем tg |12, воспользовавшись для этого уравнениями (2.87)

\аZ — tget—tge2 _ уЦх—а)—у/(х+а) (() ш lg^12" I^tge1 tge2-l +уЩх-а)(х + а) '

Из этого соотношения легко получить (2.84). Это показывает, что і совпадает с gi2 = Qi — B2. Разрешая первое из уравнений (2.88) относительно p2/pi и учитывая (2.86), получаем

M

12

Pi _ (*+в)2 + |Р

РЇ

(x-fl)« + ^

(2.90)

Умножая на е-4*2 и пользуясь определением гиперболического синуса и косинуса, приходим к уравнению (2.83), что также указывает на тождественность rj Hti12 =In (рг/рі)-Приведем пример использования этой тождественности.

Рис. 2.8. Радиусы-векторы P1 и р2.

Пример. По бесконечному проводнику течет ток I в отрицательном направлении z (рис. 2.9). Во втором бесконечном проводнике, который параллелен первому, направление тока / совпадав с положительным направлением оси z. Пользуясь определением

dA.

Po , dl 4л г '

(2.91)

найти магнитный векторный потенциал А и магнитную индукцию В.

Согласно уравнению (2.91), А имеет только г-компоненту. Интегрируя вдоль каждого проводника от 0 до P и переходя к пределу при P—> оо, получаем

A7 =H^Uirn

im f 2 [ ^ 1 і

dz

4л p-oo V. J VtaW2 I VpH*2

і

dz

) , (2.92) 100

ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1

A2^ Um 2[ln(ar+ypi+z*)-ln(z-УрЇ+^)]? =

4JX Р-уоэ

lim 2 In . (2.93)

4я V Р-юо P2^

Последнее соотношение приводится к

(2.94)

2 2л P1 2я 1 4 '

До сих пор биполярные координаты не были нужны. Сейчас, однако, нам потребуется определить магнитную индукцию В по формуле

Рис. 2.9. Антипараллельные электрические

токи.

B = VxA. Из уравнений (2.22) и (2.85)

h||о AflTio к

B =

(ch ц— cos D2

а2

dl drj dz

0



* (chif]~cos I) po/

-5--2я *

(2.95)

Магнитное поле имеет только z-компоненту. Читателю предлагается вычислить В в других системах координат. 2.10. КООРДИНАТЫ ВЫТЯНУТОГО СФЕРОИДА J Ol

Упражнения

1. Проверить ортогональность поверхностей % = bi и =

а) показать, что наклон одной поверхности (по линии пересечения с плоскостью, г —const) противоположен наклону другой; б) вычислить

2. Показать, что, в биполярных координатах переменные в уравнении Лапласа V2^j) (?, 17, г) = 0 разделяются не полностью. Показать j что полное разделение возможно в двумерном случае, т. е. когда

3. Найти емкость на единицу длины двух параллельных бесконечных проводящих цилиндров с радиусами Ь и с; расстояние между осями равно d.

Ответ: С = 2яє0/(% —Лг)-

4. Найти емкость на единицу длины, если система состоит из бесконечных проводящих цилиндра и плоскости (ось цилиндра параллельна плоскости). Ответ'. C =

' 2.10. КООРДИНАТЫ ВЫТЯНУТОГО СФЕРОИДА щ V1 <р

Обратимся к двумерной системе эллиптических координат (см. разд. 2.7). Можно образовать трехмерную систему, вращая двумерную вокруг большой или малой осей эллипса и вводя азимутальный угол <р (рис. 2.10). Вращение вокруг главной'оси приводит к системе координат вытянутых сфероидов ~со следующими координатными поверхностями:

1) вытянутые сфероиды: и = const, 0 и < оо;

2) двуполостные гиперболоиды: v = const, 0 ^ v я;

3) полуплоскости» проходящие через ось z: ер = const, 0 ^ Ф ^ 2л.

Уравнения преобразования:

X = a sh и sin u cos (р, у = a sh и sin v sin q>,

z — ac&u cos v.

Отметим, что оси в декартовой системе расположены так, что осью вращательной симметрии будет ось z. Коэффициенты Ламе в такой системе равны:

(2.96)

Iil = hu - a (sh2 и + sin2 V) ur^ a (ch2 и - cos2 v)1/2, 1 h2^hv^a(sh2u + s\n2v)i/2i H3^hq = Cishiisinv. і

(2.97)

Координаты вытянутого сфероида играют важную роль в физике, главным образом в исследовании проблемы «двух центров». Два Центра соответствуют дбум фокальным Рис 2.10. Координаты вытянутого сфероида. Поперечный разрез. 2.10. КООРДИНАТЫ ВЫТЯНУТОГО СФЕРОИДА ЮЗ

точкам (0, 0, а) и (0, 0, —а) эллипсоида и гиперболоида вращения. В соответствии с рис. 2.11 пусть rt — расстояние от точки (Z1 X) до левого фокуса, а г2 — расстояние

U1 ]

V. } ^2-98)

Рис. 2.11. «Два центра».

до правого фокуса, причем при фиксированном и Ti + + г2 = const. Точка (zt х) в переменных и и v описывается уравнениями (2.96). Азимутальный угол в данном случае не учитывается. Из свойств эллипса и гиперболы известно, что

ri-\-r2— const при фиксированном U1 T1-/*2= const при фиксированном Учитывая соотношения

r1=[(a + z)2 + *2]1/2, /2-z)2 + X*]1/2 (2.99) и уравнения (2.96), мы находим
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed