Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 2.7. Биполярные координаты.
(в плоскости ху), описываемые уравнением (2.84), проходят через обе эти точки, поскольку X = rfco, у = О — решения уравнения (2.84) при любых g.
Коэффициенты Ламе для биполярной системы координат равны
=апР55Гг I {2 85)
= =Chq-COser' J
Пусть заданы три точки (а, 0), (—а, 0) и (х, у) и два радиуса-вектора P1 и р2, расположенных под углами B1 и B2 к поло? жительному направлению оси х. Из чертежа (рис. 2.8) следует
р» = (* - ау + 0а. РЇ Н* + af + у2 ¦ (2.86,2.9. БИПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ
99
(2.87)
(2.88)
и
Введем обозначения
Ї|І2 = 1п (—-) , I42 = O1-O2.
Найдем tg |12, воспользовавшись для этого уравнениями (2.87)
\аZ — tget—tge2 _ уЦх—а)—у/(х+а) (() ш lg^12" I^tge1 tge2-l +уЩх-а)(х + а) '
Из этого соотношения легко получить (2.84). Это показывает, что і совпадает с gi2 = Qi — B2. Разрешая первое из уравнений (2.88) относительно p2/pi и учитывая (2.86), получаем
M
12
Pi _ (*+в)2 + |Р
РЇ
(x-fl)« + ^
(2.90)
Умножая на е-4*2 и пользуясь определением гиперболического синуса и косинуса, приходим к уравнению (2.83), что также указывает на тождественность rj Hti12 =In (рг/рі)-Приведем пример использования этой тождественности.
Рис. 2.8. Радиусы-векторы P1 и р2.
Пример. По бесконечному проводнику течет ток I в отрицательном направлении z (рис. 2.9). Во втором бесконечном проводнике, который параллелен первому, направление тока / совпадав с положительным направлением оси z. Пользуясь определением
dA.
Po , dl 4л г '
(2.91)
найти магнитный векторный потенциал А и магнитную индукцию В.
Согласно уравнению (2.91), А имеет только г-компоненту. Интегрируя вдоль каждого проводника от 0 до P и переходя к пределу при P—> оо, получаем
A7 =H^Uirn
im f 2 [ ^ 1 і
dz
4л p-oo V. J VtaW2 I VpH*2
і
dz
) , (2.92)100
ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1
A2^ Um 2[ln(ar+ypi+z*)-ln(z-УрЇ+^)]? =
4JX Р-уоэ
lim 2 In . (2.93)
4я V Р-юо P2^
Последнее соотношение приводится к
(2.94)
2 2л P1 2я 1 4 '
До сих пор биполярные координаты не были нужны. Сейчас, однако, нам потребуется определить магнитную индукцию В по формуле
Рис. 2.9. Антипараллельные электрические
токи.
B = VxA. Из уравнений (2.22) и (2.85)
h||о AflTio к
B =
(ch ц— cos D2
а2
dl drj dz
0
* (chif]~cos I) po/
-5--2я *
(2.95)
Магнитное поле имеет только z-компоненту. Читателю предлагается вычислить В в других системах координат.2.10. КООРДИНАТЫ ВЫТЯНУТОГО СФЕРОИДА J Ol
Упражнения
1. Проверить ортогональность поверхностей % = bi и =
а) показать, что наклон одной поверхности (по линии пересечения с плоскостью, г —const) противоположен наклону другой; б) вычислить
2. Показать, что, в биполярных координатах переменные в уравнении Лапласа V2^j) (?, 17, г) = 0 разделяются не полностью. Показать j что полное разделение возможно в двумерном случае, т. е. когда
3. Найти емкость на единицу длины двух параллельных бесконечных проводящих цилиндров с радиусами Ь и с; расстояние между осями равно d.
Ответ: С = 2яє0/(% —Лг)-
4. Найти емкость на единицу длины, если система состоит из бесконечных проводящих цилиндра и плоскости (ось цилиндра параллельна плоскости). Ответ'. C =
' 2.10. КООРДИНАТЫ ВЫТЯНУТОГО СФЕРОИДА щ V1 <р
Обратимся к двумерной системе эллиптических координат (см. разд. 2.7). Можно образовать трехмерную систему, вращая двумерную вокруг большой или малой осей эллипса и вводя азимутальный угол <р (рис. 2.10). Вращение вокруг главной'оси приводит к системе координат вытянутых сфероидов ~со следующими координатными поверхностями:
1) вытянутые сфероиды: и = const, 0 и < оо;
2) двуполостные гиперболоиды: v = const, 0 ^ v я;
3) полуплоскости» проходящие через ось z: ер = const, 0 ^ Ф ^ 2л.
Уравнения преобразования:
X = a sh и sin u cos (р, у = a sh и sin v sin q>,
z — ac&u cos v.
Отметим, что оси в декартовой системе расположены так, что осью вращательной симметрии будет ось z. Коэффициенты Ламе в такой системе равны:
(2.96)
Iil = hu - a (sh2 и + sin2 V) ur^ a (ch2 и - cos2 v)1/2, 1 h2^hv^a(sh2u + s\n2v)i/2i H3^hq = Cishiisinv. і
(2.97)
Координаты вытянутого сфероида играют важную роль в физике, главным образом в исследовании проблемы «двух центров». Два Центра соответствуют дбум фокальнымРис 2.10. Координаты вытянутого сфероида. Поперечный разрез.2.10. КООРДИНАТЫ ВЫТЯНУТОГО СФЕРОИДА ЮЗ
точкам (0, 0, а) и (0, 0, —а) эллипсоида и гиперболоида вращения. В соответствии с рис. 2.11 пусть rt — расстояние от точки (Z1 X) до левого фокуса, а г2 — расстояние
U1 ]
V. } ^2-98)
Рис. 2.11. «Два центра».
до правого фокуса, причем при фиксированном и Ti + + г2 = const. Точка (zt х) в переменных и и v описывается уравнениями (2.96). Азимутальный угол в данном случае не учитывается. Из свойств эллипса и гиперболы известно, что
ri-\-r2— const при фиксированном U1 T1-/*2= const при фиксированном Учитывая соотношения
r1=[(a + z)2 + *2]1/2, /2-z)2 + X*]1/2 (2.99) и уравнения (2.96), мы находим