Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
1 d і 2 dR \ 1 d / . Q de \ гщ ' dr V dr / + Sr*sin0 * de Vsinu do ; 90
ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1
Умножив (2.56) на г2 и перегруппировав члены, получим
(2.57)
Переменные снова разделились. Приравняем каждую часть уравнения постоянной А,2, тогда окончательно
+ ^ = (2.58)
^(^^)+^-^ = 0. (2.59)
Нам снова удалось свести дифференциальное уравнение в частных производных к системе трех обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение этих уравнений обсуждается в гл. 11 и 12. Например, в гл. 12 уравнение (2.58) классифицируется как уравнение для присоединенных полиномов Лежандра, в котором X2 = / (I + 1), где / — целое . число. Полное решение имеет вид
(Г, в, ф) = 2 Ri (г) Blm (9) Фт (ф). (2.60а)
It т
Величина k2 может быть и переменной. Разделение переменных возможно, если k2 выражается формулой
* = f(r) + -pg<?)+tt»h(4) + k*. (2.606)
¦
В случае атома водорода k2 = f (г). Уравнение (2.59), записанное для атома водорода, сводится к уравнению для присоединенных полиномов Лежандра. Разделение переменных и исследование полученных при этом обыкновенных дифференциальных уравнений проведено в разд. 8.3, а здесь мы вновь возвратимся к изучению систем координат.
Упражнения
1. Подействовать оператором V2 -f ?2 на сумму у, z)-j-+ ^2^2 (*» У> г) и доказать линейность этого оператора, т. е.
('V2 + №) (CilJ)1 + огФг) = оі (V2 + Щ % + CE2 (V2 + Щ OjJ2.
2. Проверить, что уравнение
Т"ЧМ, »)+[*+/W+'J-fW+jniffs*»)] Є'ф)=0 2.6. КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
91
допускает разделение переменных (в сферических координатах). Функции /, ? и h зависят только от указанных переменных, ft2— const.
3. Атомная (квантовомеханическая) частица помещена в прямоугольный ящик со сторонами a, b и с. Частица описывается волновой функцией ij>, которая удовлетворяет уравнению Шредингера
-SS v^-**-
Волновая функция должна исчезать на каждой- стенке ящика (но не должна быть равной нулю тождественно). Это требование влияет на константы разделения и, следовательно, на энергию Е. Каково наименьшее значение Ei для которого можно найти такое решение?
Ответ: J .
2.6. КРУГОВЫЕ * ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ р, <р, 2
і '
Легко получить соотношения, которые определяют связь между декартовыми и круговыми цилиндрическими координатами (рис. 2.4):
X = P COS ф, у = P sin ф, Z = Zi
(2.61)
где р — расстояние по нормали от оси z, а г по-прежнему обозначает расстояние от начала отсчета в декартовой системе. В соответствии с этими формулами коэффициенты Ламе оказываются равными
hi = Ap = 1, A2 = /іф = р,
h = hz~ 1. (2.62)
Эта система координат образована следующими семействами координатных поверхностей на рис. 2.4:
1) правильные круговые цилиндры с осью Z в качестве общей оси: р = (х2 + у2)1!* = const;
2) полуплоскости, проходящие через ось z: ф~
= arctg У- = const;
X
* В дальнейшем круговые цилиндрические координаты будем называть ,просто цилиндрическими, если не .будет специальных, оговорок.— Прим. перев. ' - '
"X
Рис. 2.4. Круговые цилиндрические координаты*. $2
ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1
3) плоскости, параллельные плоскости ху: z ~ const. Переменные р, ф и Z изменяются в пределах 0<р<оо, 0<ф<2я, — oo<z<oo. Из уравнений (2.13), (2.17), (2.18) и (2.22) имеем
Vi|?(p, ф, 2)-р0-^- + ф0і
av,
аФ
d^ і ir дф ^r dz
ф + ^r
V2Ijj
VxV =
#7 Po
jL
ар
pa аф2
РФо k
A JL
(ра аг
аг ¦
az2
Kp F2
(2.63)
(2.64)
(2.65)
(2.66)
Наконец, для задач, в которых рассматриваются цилиндрические волноводы или объемные резонаторы, необходимо знание компонент векторного лапласиана V2V в цилиндрических координатах:
^V),
V2Viz
V2V1
V2V V2I^5
1
2 dVt
ф
Ч
<р
IST М-р
P2 2
dtp dVn
(2.67)
Вид 2-компоненты лапласиана определяется тем, что ос« г в декартовой и цилиндрической системе совпадают, т.
V2 (poV, + ф<,Уф + Wz) - V2 (p0VQ + ф0Уф) +¦ kV27, = = Po/ (VpVfp) + фоg (Vpj V9) + kVWz.
Оператор V3 действует на единичные векторы р©, лежащие в плоскости р0фо- Это свойство оператора распространяется Ha ЛЮбые ЦИЛЙНДрИЧесКИе СИСТеМЫ.
Пример. Пространственная часть амплитуды электромагнитной волны в цилиндрическом волноводе подчиняется волновому уравнению
V 2i|? -J- — 0.
і
Волновод с абсолютно проводящими стенками не ослабляет волну, а потому нет зависимости от z (центральная ось волновода совЦі^ 2.6. КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
93
дает с осью г). Тогда, используя выражение (2.65), получаем Пусть
+ (р,Ф) = Р(р)Ф(Ф), (2.69)
тогда
Га / dp\ і
ТЪЪПГф?'*?+* ' { ]
Умножая (2.70) на ра, выделяем член, зависящий только от ф:
1 2 /0 7П
. = —т2. (2.71)
Здесь постоянная равна—т2, так как ф—азимутальный угол, и ожидаемое решение должно иметь зависимость sin тф или cos тф. Уравнение для радиальной части представляет собой уравнение Бесселя (подробнее см. гл. 11):
Упражнений
1. Разложить единичные векторы цилиндрической системы на компоненты в декартовой системе координат
