Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
С другой стороны, связь можно задать и в форме интеграла
'j ф/і (Уі» Xj) dxj = const. (17.96)
Можно ввести любой постоянный множитель Лагранжа и снова получить уравнение (17.95), теперь уже с постоянным X.
В любом случае, сложив б/ = 0 с уравнением (17.95), получим
6 і [f іУі> %' *') + 2 (У. ^)]dxJ-0- <17-97)
h
Если ф(уи Xj) задано в форме (17.93), множитель Лагранжа Xk может зависеть от Xj.
45* »
70u І* Л А В А 17. ВАРЙАЦЙОННОЕ ЙСЧЙСЛЕНЙЁ
Считая подынтегральное выражение из (17.97) некоторой новой функцией g(yti dytldXj, xj), т. е.
g (^1.?. (17.98)
J h
находим, что функция g должна удовлетворять обычным уравнениям Эйлера
P--Y1^ ** . = Q (17.99)
діл dxj д {dijijdxj) v 1
j
(по одному такому уравнению на каждую зависимую переменную у і) [см. уравнения (17.70) и (17.76)1. Затем, решая совместно уравнения Эйлера и уравнения связей, находим экстремум.
Уравнения Лагранжа. В отсутствие связей уравнения
d 0Ї
движения Лагранжа (17.58) принимают форму —
а дЯі
---L :- Qj Где і (время) — независимая переменная,
%
qi (t) (положение частицы) — набор зависимых переменных. Обобщенные координаты qt обычно выбирают из условия исчезновения влияния связей, однако эта процедура не является необходимой, да и не всегда она возможна. При наличии связей <pft принцип Гамильтона формулируется следующим образом:
б j [Hqt/qu /) + 2М0Ф*(?і. 0]d = 0, (17.100)
ft
а уравнения Лагранжа записываются так:
W-^S7=2^- (Ї7.101)
Обычно связь ф^ — ф^ (qt, t) не зависит от обобщенной
скорости qt. В таком случае коэффициент aik = дфJdqi. -Если qt — длина, то произведение aikXk представляет собой силу со стороны ?-й связи в направлении qti ив уравнение (17.101) эта сила входит в виде производной -OVIdqi.
Простой маятник. Рассмотрим простой маятник, имеющий массу т, которая подвешена на нити длиной / (влияние нити отождествляется со связью). При наличии связи 17.7. ВАРИАЦИЯ ПРИ НАЛИЧИИ СВЯЗЕЙ
т
<Pj = г — / = О имеется две обобщенные координаты г и В (движение в вертикальной плоскости). Запишем лагранжиан
L = T-V -jtti (г2 г* б2) I - mgr cos Є. (17.102)
Исходя из уравнений Лагранжа (17.101), получим уравнения движения
d dL dL » , і лч d dL dL „
(17.103)
или
d ' d '
(mr) — mro2 — mg cos 0 — X1, (mr20) mgr sin 0 = 0.
(17.104)
Подставляя в уравнение связи (г = Iy г = 0), получаем
т/02-}-mg cos 0 = -X1, m/20 + mg/sin 0=-0. (17.105)
Второе уравнение, решенное относительно 0 (*) при малой амплитуде (sinG = 0), описывает простое гармоническое движение, тогда как первое уравнение характеризует натяжение нити — X1.
Скольжение частицы по цилиндру. С задачей о колебании маятника тесно связана задача о скольжении частицы по цилиндрической поверхности. Необходимо определить критический угол 0ft, при котором частица сорвется с поверхности цилиндра. Это произойдет в той точке поверхности, где радиальная сила связи окажется равной нулю. Мы имеем
L = T-V = і т (г2 + r202) - mgr cos 0 (17.106)
и одно уравнение связи <Pi = r —1 = 0. Проделав те же выкладки, что и в задаче о маятнике, получим с учетом того, что ап= 1,
mr- mrfc + mg cos 0 = X1 (0), (17.107) mr20 + 2mrr0 —- mgr sin 0 = 0. (17.108) т
Г Л A'? A If. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
В уравнении (17.107) влияние связи X1(O) есть функция
• • •
угла 9*. В силу г = /, г —г —0 уравнения (17.107) и (17.108) упрощаются:
- m/Є2 -ItrifT cos 9 - X1 (0), (17.109)
m№ — mgl SinO = O. (17.110)
Дифференцируя уравнение (17.109) по времени и вспоми-
df (9) df (0) Л о ,V . п
ная, что dt — получаем — 2тШ — mg sin 0 =
• Комбинируя это уравнение с уравнением (17.110)
и интегрируя, имеем Xj (8) = 3mg cos 9 + С. Поскольку X1 (0) = mg, то C= —2mg.
Частица т будет удерживаться на поверхности, пока влияние связи неотрицательно, т. е. до тех пор, пока поверхность цилиндра не перестанет воздействовать на связь
X (0) = 3mgcos0 — 2mg> 0. (17.111)
Критический угол соответствует условию X (Qh) — 0, т. е. сила связи равна нулю. Из уравнения (17.111) имеем cosOft = 2/3 или 6ft = 48°1Г. При таком угле (если пренебречь трением) происходит срыв частицы с поверхности.
Уравнение Эйлера в квантовой механике. В квантовой механике встречаются уравнения Эйлера
HJ
?/, z)Hty(x, у, z)dxdydz=--Q (17.112) с ограничивающим условием
^ypdxdydz = 1. (17.113)
лі
Из уравнения (17.112) следует, что энергия системы посто-
ft
янна, H = — V2 V (х, у, г) — квантовомеханиче-
ский гамильтониан частицы с массой т. Условие связи (17.113) означает, что мы имеем только одну частицу; зависимая переменная г|э — обычная волновая функция,
* Подчеркнем, что X1 представляет собой радиальную силу, действующую со стороны цилиндра на частицу. Из физических соображений ясно, что X1 должна зависеть от угла 0. Мы положим X = — X (/), а затем заменим зависимость от времени на неизвестную зависимость от угла. 17.7. ВАРИАЦИЯ ПРИ НАЛИЧИИ СВЯЗНЙ 703
а ее комплексно-сопряженная ф * рассматривается в качестве второй (см. разд. 6.1) зависимой переменной. Интегрируя по частям, получаем
