Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арфкен Г. -> "Математические методы в физике" -> 173

Математические методы в физике - Арфкен Г.

Арфкен Г. Математические методы в физике — М.: Атомиздат, 1970. — 712 c.
Скачать (прямая ссылка): matematmetodivfizike1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 167 168 169 170 171 172 < 173 > 174 175 176 177 178 179 .. 185 >> Следующая


S=-?-[/>(*. У< z)w]+wip{x' у' г)ж] +

+ ±[p(x,y,z)±-] + q(x,y,z). (16.157)

В заключение приведем функции Грина для наиболее часто встречающихся случаев. I. Уравнение Пуассона

V2<p(r)= — р (г)/е0, (16.158)

в котором ф (г) конечна или имеет только логарифмическую расходимость при г оо.

1. Одномерный случай. Функция Грина не существует во всем интервале (—оо, оо).

2. Двумерный случай. Интегрируя по поверхности круга с центром в точке г{ = г2, получаем

Iim ( ( V>G(rlf r2)dA=-\. (16.159)

Применение теоремы Гаусса (двумерный случай) сводит поверхностный интеграл от оператора Лапласа к линейному от градиента

Hm <5 VG(rlf r*)riado=-lf r12 = |rt-r2|. (16.160)

Этому интегральному соотношению удовлетворяет выражение

VG= - 1/2яг12= - І/2я| Г|—га| (16.161) и, следовательно,

0(Г1, T2) = --^-InIr1-F2I. (16.162)

В таком случае решение двумерного уравнения Пуассона имеет вид

У M = - -?" j ln I ri - r21P (h) dr2. (16.163) 670 Г Jl А В А 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

3. Трехмерный случай (см. разд. 1.14 и 8.6)

G(t1, г2)=1/4л it1-t2i, (16.164)

фМ-ТйцітЙЇГ^ (16Л65)

II. Уравнение Гельмгольца (пространственная часть волнового уравнения)

(V« + ф (г)= /(г), (16.166)

(v2-f?2) G (гь г2) = —б(г4—г2). (16.167)

1. Одномерный случай

(16.168)

2. Двумерный случай

G (rlf r2) = -L H?(k ir1-t2i). (16.169)

3. Трехмерный случай

ift|ri-r2l

G 0-.,r2) = ^1TPTir (16.170)

В одномерном случае функция G (Ti, г2) удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца всюду, за исключением точки T1 = г2, и имеет разрывную первую производную. В двумерном и трехмерном случаях функции имеют особенности типа In г и г~\ характерные для оператора X — V2. И вообще, функция Грина для двумерной задачи, которая описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка, имеет вид

с2(г„ г2)= -^-іпігі-пі + я^г!, т2), (16.171)

где Я2(т1, т2) — регулярная функция, зависящая от формы дифференциального уравнения и граничных условий. В соответствующем трехмерном случае

М'і. r2) =JgclriLr1I +/У.(Гі, г2), (16.172)'

где Hз (ті, г2) также регулярна. Приведем функции Грина для модифицированного уравнения Гельмгольца, чтобы яснее представить, как H2 и Я3 изменяются в зависимости от формы дифференциального уравнения. 165. ФУНКЦИИ ГРИНА

671

III. Модифицированное уравнение Гельмгольца

(V»—A») (г) = / (г), (16.173)

(V»-*«)G(r„ ra> = —A(г4— (16.174)

Решения, ограниченные при г —> оо:

1. Одномерный случай

G(rlt T2H1Le^їі-Ч (16.175)

2. Двумерный случай

0(rlf rj = JrKoffIr1^r1I). (16.176)

3. Трехмерный случай, мезонный потенциал

0('..^ = ?=^- (16.177)

Все три формы функции Грина представляют собой известные ядра уравнения диффузии из гл. 11,'которые играют весьма важную роль в элементарной теории диффузии нейтронов.

Отметим, что здесь и во всех рассмотренных примерах особенность 6 (rt — г2) и функция Грина G (гь г2) были связаны с радиальной частью дифференциального уравнения. Физически это означает, что взаимодействие (функция влияния) зависит только от расстояния между точками г12 — I — r21 и не зависит от ориентации.

Если дифференциальный оператор оказывается самосопряженным (и, следовательно, ему соответствует полная система собственных функций), то с помощью выкладок, которые привели к выражению (16.103), функцию Грина можно разложить в ряд по этим функциям. Исключением, как это видно из формулы (16.103), является случай, когда одно из собственных значений равно нулю или же последовательность Xn сходится к нулю. Разложение по собственным функциям используется в упр. 8—12 (см. ниже).

Квантовое рассеяние частиц. Падающий пучок частиц, который описывается функцией eift°z, частично рассеивается. Рассеянная (расходящаяся) волна имеет асимптотический вид

Ф (г) = J-f(r, 0)eiftor. (16.178) 672

Г Jl А В А 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Полную волновую функцию запишем в виде суммы падающей и рассеянной волн:

ф(г) = е1Л»Ч-Ф(г). (16.179)

Далее, предполагая, что вероятность рассеяния гораздо меньше единицы, сведем волновое уравнение Шредингера к некоторому приближенному

(V2 + kl) Q(T) = U (г) eift°z, (16.180)

где K2

—- [J (г) = V (г) — рассеивающий (возмущающий) потенциал;

(16.181)

k\ = E-полная энергия. (16.182)

Задача свелась к решению неоднородного дифференциального уравнения (16.180). Дифференциальному оператору V2 соответствует непрерывная система собственных функций

?2фк(гН~/е2фк(г), (16.183)

где

фк (г) = (2я)~3/2 еікг. (16.184)

Они обладают свойством ортогональности, т. е.

j фк (г) фк- (r) Jr = 6 (к—к') (16.185)

(см. упр. 1 и 2 к разд. 15.6). Воспользуемся этими собственными функциями для построения функции Грина. Разложим Ф(г) в интеграл Фурье

Ф(г)= \ Akqk(r)dk, (16.186)

в

подставив который в уравнение (16.180), получим, воспользовавшись результатом (16.183):

\ Ak (Щ - k2) фк (г) dk = U (г) eife»z. (16.187) 1С.5. ФУНКЦИИ ГРИІІЛ

673

Умножим на tyk' (г) и проинтегрируем по пространственным координатам, после чего
Предыдущая << 1 .. 167 168 169 170 171 172 < 173 > 174 175 176 177 178 179 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed