Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
S=-?-[/>(*. У< z)w]+wip{x' у' г)ж] +
+ ±[p(x,y,z)±-] + q(x,y,z). (16.157)
В заключение приведем функции Грина для наиболее часто встречающихся случаев. I. Уравнение Пуассона
V2<p(r)= — р (г)/е0, (16.158)
в котором ф (г) конечна или имеет только логарифмическую расходимость при г оо.
1. Одномерный случай. Функция Грина не существует во всем интервале (—оо, оо).
2. Двумерный случай. Интегрируя по поверхности круга с центром в точке г{ = г2, получаем
Iim ( ( V>G(rlf r2)dA=-\. (16.159)
Применение теоремы Гаусса (двумерный случай) сводит поверхностный интеграл от оператора Лапласа к линейному от градиента
Hm <5 VG(rlf r*)riado=-lf r12 = |rt-r2|. (16.160)
Этому интегральному соотношению удовлетворяет выражение
VG= - 1/2яг12= - І/2я| Г|—га| (16.161) и, следовательно,
0(Г1, T2) = --^-InIr1-F2I. (16.162)
В таком случае решение двумерного уравнения Пуассона имеет вид
У M = - -?" j ln I ri - r21P (h) dr2. (16.163)670 Г Jl А В А 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
3. Трехмерный случай (см. разд. 1.14 и 8.6)
G(t1, г2)=1/4л it1-t2i, (16.164)
фМ-ТйцітЙЇГ^ (16Л65)
II. Уравнение Гельмгольца (пространственная часть волнового уравнения)
(V« + ф (г)= /(г), (16.166)
(v2-f?2) G (гь г2) = —б(г4—г2). (16.167)
1. Одномерный случай
(16.168)
2. Двумерный случай
G (rlf r2) = -L H?(k ir1-t2i). (16.169)
3. Трехмерный случай
ift|ri-r2l
G 0-.,r2) = ^1TPTir (16.170)
В одномерном случае функция G (Ti, г2) удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца всюду, за исключением точки T1 = г2, и имеет разрывную первую производную. В двумерном и трехмерном случаях функции имеют особенности типа In г и г~\ характерные для оператора X — V2. И вообще, функция Грина для двумерной задачи, которая описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка, имеет вид
с2(г„ г2)= -^-іпігі-пі + я^г!, т2), (16.171)
где Я2(т1, т2) — регулярная функция, зависящая от формы дифференциального уравнения и граничных условий. В соответствующем трехмерном случае
М'і. r2) =JgclriLr1I +/У.(Гі, г2), (16.172)'
где Hз (ті, г2) также регулярна. Приведем функции Грина для модифицированного уравнения Гельмгольца, чтобы яснее представить, как H2 и Я3 изменяются в зависимости от формы дифференциального уравнения.165. ФУНКЦИИ ГРИНА
671
III. Модифицированное уравнение Гельмгольца
(V»—A») (г) = / (г), (16.173)
(V»-*«)G(r„ ra> = —A(г4— (16.174)
Решения, ограниченные при г —> оо:
1. Одномерный случай
G(rlt T2H1Le^їі-Ч (16.175)
2. Двумерный случай
0(rlf rj = JrKoffIr1^r1I). (16.176)
3. Трехмерный случай, мезонный потенциал
0('..^ = ?=^- (16.177)
Все три формы функции Грина представляют собой известные ядра уравнения диффузии из гл. 11,'которые играют весьма важную роль в элементарной теории диффузии нейтронов.
Отметим, что здесь и во всех рассмотренных примерах особенность 6 (rt — г2) и функция Грина G (гь г2) были связаны с радиальной частью дифференциального уравнения. Физически это означает, что взаимодействие (функция влияния) зависит только от расстояния между точками г12 — I — r21 и не зависит от ориентации.
Если дифференциальный оператор оказывается самосопряженным (и, следовательно, ему соответствует полная система собственных функций), то с помощью выкладок, которые привели к выражению (16.103), функцию Грина можно разложить в ряд по этим функциям. Исключением, как это видно из формулы (16.103), является случай, когда одно из собственных значений равно нулю или же последовательность Xn сходится к нулю. Разложение по собственным функциям используется в упр. 8—12 (см. ниже).
Квантовое рассеяние частиц. Падающий пучок частиц, который описывается функцией eift°z, частично рассеивается. Рассеянная (расходящаяся) волна имеет асимптотический вид
Ф (г) = J-f(r, 0)eiftor. (16.178)672
Г Jl А В А 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Полную волновую функцию запишем в виде суммы падающей и рассеянной волн:
ф(г) = е1Л»Ч-Ф(г). (16.179)
Далее, предполагая, что вероятность рассеяния гораздо меньше единицы, сведем волновое уравнение Шредингера к некоторому приближенному
(V2 + kl) Q(T) = U (г) eift°z, (16.180)
где K2
—- [J (г) = V (г) — рассеивающий (возмущающий) потенциал;
(16.181)
k\ = E-полная энергия. (16.182)
Задача свелась к решению неоднородного дифференциального уравнения (16.180). Дифференциальному оператору V2 соответствует непрерывная система собственных функций
?2фк(гН~/е2фк(г), (16.183)
где
фк (г) = (2я)~3/2 еікг. (16.184)
Они обладают свойством ортогональности, т. е.
j фк (г) фк- (r) Jr = 6 (к—к') (16.185)
(см. упр. 1 и 2 к разд. 15.6). Воспользуемся этими собственными функциями для построения функции Грина. Разложим Ф(г) в интеграл Фурье
Ф(г)= \ Akqk(r)dk, (16.186)
в
подставив который в уравнение (16.180), получим, воспользовавшись результатом (16.183):
\ Ak (Щ - k2) фк (г) dk = U (г) eife»z. (16.187)1С.5. ФУНКЦИИ ГРИІІЛ
673
Умножим на tyk' (г) и проинтегрируем по пространственным координатам, после чего