Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
а
Построим функцию Грина G (х, t). Пусть и (*) — решение однородного уравнения Штурма — Лиувилля, которое удовлетворяет граничным условиям в точке X = а, а V (х) — решение, удовлетворяющее граничным условиям
* Строго говоря, под этим понимается предел X -»¦ t. 43-1257 662
>
Г Jl А В А 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
і р
в точке X = Ь. Тогда положим
( CiU(X)y x<t,
0^-Uw, '<*¦ (16123)
Из условия непрерывности (16.120) в точке X = t следует, что
C2V (t) - C1U (t) = 0. (16.124)
Наконец, скачок первой производной, согласно условию (16.121), дает
c2t;' (0 - au' (t) = - lip (t). (16.125)
Как известно, для коэффициентов C1 и C2 существует единственное решение (см. разд. 8.5), если
u(t) v(t) U'І) v'(t) =
Пусть и (х) и V (х) — линейно независимые функции. Если и (х) удовлетворяет граничным условиям на обоих концах отрезка, требуется обобщенная функция Грина. Строго говоря, функция Грина не существует, если и (х) и V (х) линейно зависимы. То же самое можно сказать, если X = O- собственное значение однородного уравнения. Тем не менее «обобщенную» функцию Грина все же можно определить.
Для независимых и (х) и и (х) получаем определитель Вронского
и (t) V' (t) - V (t)a' (0 = Alp (/), А = const. (16.126)
Соотношение (16.126) иногда называют формулой Абеля. С учетом (16.125) запишем
Ci=-V (t)IA, с2 = — и (t)IA. (16.127)
Очевидно, такие значения коэффициентов удовлетворяют уравнению (16.124). После подстановки их в (16.123) получаем функцию Грина
~u(x)v(t), x<t,
, (16.128) -~^u(t)v(x), t<x.
Важно подчеркнуть, что G (х, t) = G (/, х), т. е. функция Грина обладает свойством симметрии. Объяснение эторо 16.5. ФУНКЦИИ ГРИНА
663
факта связано с принципом взаимности, в соответствии с которым причина и следствие совершенно равноправны относительно переменных X и t. Взяв пример из электростатики, можно утверждать, что функция влияния зависит только от абсолютной величины расстояния между двумя точками.
Нам удалось построить функцию Грина G (.х, t), однако мы еще не доказали, что интеграл (16.122) с построенной функцией Грина будет решением исходного дифференциального уравнения (16.117). Это можно проверить прямой подстановкой функции Грина (16.128) в уравнение (16.122). Имеем
а о
Ь
—j-]u(x)v{t)f(t)dt. (16.129)
я
Дифференцируя, получаем
X
y'(x)=-±-\v'(x)u(t)f(t)dt-
а
Ъ
j u'(x)v(t)f(t)dt, (16.130)
X
производные пределов интегрирования взаимно уничтожились. Продифференцируем еще раз:
X b
у" (X) = - ± j оГ (Jt) U (t) f (/) dt- j U" (X) V (I) f (I) dt -
О X
--J-Iu (X) Vf (X) - V (X) Uf (X)]/(JC). (16.131)
С учетом (16.125) и (16.127) последнее выражение можно переписать так:
X
I U(I) f(t) dt-
а
Ь
-f^J0WZWtf--Jg-. (,6Л32>
JC
43* 664
глава 16. Интегральные уравнения
Теперь подставим (16.132) в уравнение (16.118)
ас
SyW = --Mi- j u(t)f(t)dt-
а
b
-№ip-^v(t)f(t)dt-f(x). (16.133)
ж
Поскольку по условию и (х) и V (х) выбраны такими, что они удовлетворяют однородному уравнению Штурма — Лиувилля,, выражения в квадратных скобках равны нулю* поэтому члены с интегралами исчезают. Перенеся f (х) в :левую часть, получаем в точности уравнение (16.117).
Постараемся теперь удовлетворить граничным условиям для функции у (х). В точке X== а с учетом постоянства определенного интеграла
ъ
У (a)=- jlJ1 j V (Of (0 dt = си (і7), (16.134)
а
Ь
y>(a) = -J!L!&^v(t)f(t)dt==cu'(a): (16.135)
а
Возьмем функцию и(х) такой, чтобы
аи(а)-\-$и' (fl) = 0. (16.136)
Умножая данное уравнение на постоянную с, видим, что у (х) тоже удовлетворяет уравнению (16.136). Эта операция иллюстрирует удобство однородных граничных условий, так как в этом случае нормировка не имеет значения. В задачах квантовой механики граничное условие, которому должна удовлетворять волновая функция, часто задается в виде отношения ^f (х)!$ (х) = dUnty (x)](dx, эквивалентного уравнению (16.136). Удобство такой записи состоит в том. что волновая функция не нуждается в нормировке.
Резюмируя, можно утверждать, что уравнение (16.122) определяет функцию у (х), которая удовлетворяет дифференциальному уравнению (16.117) и граничным условиям, которые учтены в самой функции Грина G (х, t). І6.5. ФУНКЦИИ ГРЙНА
66a
По существу мы воспользовались решениями однородного линейного уравнения Штурма — Лиувилля и с их помощью построили решение неоднородного уравнения. Для примера снова обратимся к уравнению Пуассона. Его решение (16.116) представлено комбинацией решений соответствующего однородного уравнения Лапласа с весом P (г').
До сих пор на f (х) не налагалось никаких ограничений. Теперь предположим, что f (х) = Яр (х) у (х), тогда
ь
у (х)--=X j G(х, t)p(t)y(t)dt (16.137)
а
будет решением уравнения
Xy (x) + Яр (x) у (X) = 0 (16.138)
с соответствующими граничными условиями. Уравнение (16.137) является однородным уравнением Фредгольма второго рода, а уравнение (16.138) — уравнением Штурма — Лиувилля на отыскание собственных значений (см. гл. 9).
