Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
** Предполагается, что нужные интегралы существуют- 16.4. Теория гйльбертА - шмидтА
658
В силу симметричности ядра К (х, t) перепишем уравнение (16.916)
ъ ъ ъ
Xi j cpj (х) Vj W dx — XiXj j ^ /С (a:, t) Cpi- (0 <pj (je) dt dx.
a a a
(16.92)
Имея в виду (16.91а), заменим правую часть этого уравнения
b
(Xj - Xi) j cpi (*) ер,- (X) dx = 0. (16.93)
а
Поскольку Xi^t=Xj, то
b
j фг w ф/ Mcbc = o, ІФІ, (16.94)
*
и ортогональность доказана. Подчеркнем, что дли симметричного ядра в уравнении (16.94) не нужно производить операцию комплексного сопряжения. Самосопряженное, или эрмитово, ядро рассмотрено в упр. 1 (см. ниже).
При вырожденном собственном значении * соответствующие функции ортогонализуются по методу Шмидта (см. разд. 9.3). Ортогональные собственные функции всегда могут быть нормированы, поэтому в предположении, что уже сделано, запишем
b
j фг M Ф; W dx = 6ij. (16.95)
а
Чтобы доказать вещественность собственного значения Xit возьмем уравнение комплексно-сопряженное первому уравнению (16.90)
b
ф? (JC) = Xt j К (.X, t) фі* (t) dt, (16.96)
а
в котором учтено, что ядро К (*, t) вещественно. Аналогично тому, как было выведено соотношение (16.93), полу-
* Собственное значение называется вырожденным, если ему соответствует несколько различных собственных функций, удовлетворяющих уравнению (16.89). 656
Г Jl А В А 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
чим уравнение
ь
j<pfw<p« (X) ^--=0. (16.97)
а
Интеграл в этом уравнении отличен от нуля (тривиальное решение ср( = 0 не рассматривается), поэтому У = Xi, откуда следует, что собственное значение Xi вещественно.
Собственные функции интегрального уравнения образуют замкнутую систему в том смысле, что любая функция, заданная с помощью интеграла,
g(x)=^K(x,t)h(t)dt, (16.98)
где h (t) — Кусочно-непрерывная функция, может быть представлена рядом по собственным функциям
OO
вW= 2 o»?»W.
п—1
причем это> ряд сходится равномерно и абсолютно.
Распространим этот результат на ядро К (х, t), предположив, что
OO
к(*,<)= E ад»«). (16.100)
71= 1
где ап = ап (х). Подставив это разложение в исходное интегральное уравнение (16.89) и воспользовавшись ортогональностью, получим
,PiW = MiW- (16-101)
Таким образом, ядро однородного уравнения Фредгольма второго ро^а можно выразить через собственные функции и собственные значения:
(^0). (16.102)
п=1 П
Может случиться так, что разложение (16.100) не существует. Чтобы убедиться в возможности такой ситуации,-читателю предлагается применить разработанный анализ к интегральному уравнению
OO
ф(х) = Х J e-xt<?(t)dt. (16.103)
о 16.4. ТЕОРИЯ ГИЛЬБЕРТА - ШМИДТА
UO7
Важно подчеркнуть, что в теории Гильберта — Шмидта изучаются свойства собственных значений (вещественность) и собственных функций (ортогональность, полнота), т. е. тех свойств, которые могут иметь наибольший интерес и значение. Указанная теория не дает алгоритма для решения однородного интегрального уравнения. Способы решений интегрального уравнения рассмотрены в разд. 16.2 и 16.3 (кроме того, возможно применение обычных численных методов).
Неоднородное интегральное уравнение. Требуется решить неоднородное интегральное уравнение
ь
ф (*) = / (JC) -I- я j к (xt t) ф (t) dt. (16.104)
о
Будем предполагать, что решения соответствующего однородного интегрального уравнения известны. Собственные функции фn(j») удовлетворяют уравнению
ь
Фп (JC) - К j К (xt t) ф71 (t) dt (16.105)
а
с соответствующим собственным значением. Разложим ф (jt) и f(x) в ряд по собственным функциям
OO
. ф(*)= 2 ап(рп(х), (16.106)
п=1
оо
/(*)= 2 Ьпц)п (х) (16.107)
Tl= 1
и подставим эти разложения в уравнение (16.104):
OO OO b OO
2 а*фп W = 2 bn^n W + ^ j К (xt t) 2 адь (0 •
п= 1 п= 1 а Ti=I
(16.108)
Поменяв порядок суммирования и интегрирования, можно с помощью (16.105) вычислить интеграл в правой части
СО СО OO
2 аПфП(*)=2 M>nW+ь 2 (16Л09)
Tl=I Tl=I П=1 658
Г Jl А В А 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Если теперь умножить уравнение (16.109) на ср{ (х) и проинтегрировать по X от а до 6, то с учетом ортогональности собственных функций получим
at = bt +IalIkh (16.110)
или
ai = bi + Xj~Xbu (16Л11>
после чего окончательное решение примет вид
ь
OO J f (X) фі (t) dt І=1
Подчеркнем, что для / (*) = 0 решение отсутствует, если только ХфХи т. е. однородное уравнение не имеет решения (за исключением тривиального ф (*) = 0), если X не равно собственному значению Xi.
Может оказаться, что X для неоднородного уравнения (16.104) равно одному из собственных значений Xv для однородного уравнения, тогда полученное решение (16.112) теряет силу. Чтобы распространить формулу (16.112) и на этот случай, нужно специально исследовать выражение (16.110) с Xp:
dp~ bp f Xp — = bp-fap. (16.113)
Np
Очевидно, ар взаимно уничтожаются и уже не могут быть определены через bp, а сам коэффициент Ьр = 0. Это означает что J f (лс) фр (jc) = 0, т. е. функции f (х) и фр (х) ортогональны.
