Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арфкен Г. -> "Математические методы в физике" -> 152

Математические методы в физике - Арфкен Г.

Арфкен Г. Математические методы в физике — М.: Атомиздат, 1970. — 712 c.
Скачать (прямая ссылка): matematmetodivfizike1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 146 147 148 149 150 151 < 152 > 153 154 155 156 157 158 .. 185 >> Следующая


CQ0-Ci) Aco 1 2 _ „

-HST5=sISrs==tT' "дГ' (15-3°) $88 tjiaba і5. йнтегральйьіе преобразований

Поскольку вклад периферийных частей невелик, можно положить

Aco - щШ. (15.31)

Используя (15.31), можно с хорошей точностью измерять разброс по частоте в волновом пакете. Очевидно, при

Рис. 15.1. Конечный волновой пакет (а) и его фурье-преобразование (б).

большом N (длительный импульс) разброс по частоте невелик. С другой стороны, если из общей синусоидальной 15.3. преобразование фурье

589

волны выделена короткая часть, т. е. N невелико, разброс по частота^ будет значительным.

Соотношение неопределенности. Существует классический аналог известного принципа неопределенности из квантовой механики. Пусть имеется электромагнитная волна, причем htd/2я = E- энергия (волнового пакета или фотона), тогда

ЬЫ2п = Д?, (15.32)

где h — постоянная Планка, которая характеризует неопределенность в энергии одного фотона. Кроме того, имеется неопределенность во времени; для прохождения N циклов волны требуется 2Мт/со0 секунд. Обозначим

M = 2Ып/щ (15.33)

и возьмем произведение двух величин

ас А 4- АД© 2 лМ , щ 2nN . /t с 0л\

ЬЕ-M = -^r------(15.34)

2л о)0 2 TiN ©о v '

В'соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга

. АЕ-М>Ш2я. (15.35)

Очевидно, результат (15.34) не противоречит этому принципу.

Упражнения

Убедиться, что следующие функции являются фурье-преобразо-ваниями друг друга:

1. /(*М

г ,/ 2 1

V 1Гуд- И<*>

О, |*|>а,

О \х\<с,

yha' и>а'

2. f(*) = j_^rJL _L . и "о(aMh

і/ л 1

3. у •

V^T2' ¦ ^o («I if I).

Как объяснить, что сюда не включена функция Io (ау)? Указание. Функции Jо, /V0 и Ко легко преобразуются с помощью преобразования Фурье (15,21), изменения порядка интегрирования и экспоненциального представления б-функции Дирака (см. разд. 15.6). 590 г лай а 15. интегральные преобразования

15.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ПРОИЗВОДНОЙ

Запишем экспоненциальное преобразование Фурье функции f (.X)

OO

g(ffl) = IjT== J HxWdx (15.36)

и ее производной df(x)/dx

— OO

OO



—OO

1/2

Интегрируя (15.37) по частям, получаем

OO

<?, («,)=•/(*) /(x)e"«d*. (15.38)

1/2я 1/2зх J

1 -OO

Если f(x) обращается в нуль при то

fifi(©)= — io)g(to), (15.39)

т. е. преобразование производной равно преобразованию исходной функции, умноженному на (—ш). Этот результат легко обобщается на производную п-го порядка

(15.40)

поскольку f (х) = О при ЛГ-Ь ± OO.

Волновое уравнение. Рассмотрим колебание свободной бесконечно длинной струны. Амплитуда (малых) колебаний у удовлетворяет волновому уравнению

дх2 »2 ' а/2 '

(15.41)

Будем полагать, что в момент времени t = О

» = /(*)• (15.42)

Применим преобразование Фурье, которое означаем умножение на eia* и последующее интегрирование по х:

OO OO

J ^ie^^I J ^lebrfl (15.43)

-OO —00 15.4. преобразование фурье производной 591

или

(15.44)

где

оо

Y (a, t) = -JL [ у (*, 0 eia*<fx. (15.45)

у 2л J

-OO

Здесь мы использовали уравнение (15.40). Проинтегрированная часть уравнения (15.38) обратилась в нуль, поскольку волна не успела еще распространиться на бесконечность. В уравнении (15.44) нет никаких производных по а, поэтому оно представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение, в данном случае — уравнение линейного осциллятора. Рассмотренное преобразование, в результате которого дифференциальное уравнение в частных производных свелось к обыкновенному дифференциальному уравнению, существенно упрощает задачу. Теперь остается решить уравнение (15.44) при соответствующих начальных условиях. Распространим на функцию (15.45) условие (15.42), соответствующее моменту / = 0, тогда

OO

У (a, 0)=-7= ( f(x)eiaxdx = F(а). (15.46)

у 2л J

-OO

Общее решение уравнения (15.44), записанное через экспоненту, имеет вид

К (a, t)=F(а)е±™*. (15.47)

Применим теперь формулу обращения (15.22)

OO

у (X1 Ц = J Y (a, t)e~^da (15.48)

— OO

и с учетом (15.47) окончательно получим

OO

у (X, О =-7= \ F И е_іа da• (15-49) V 2л J

— OO

Поскольку f (*) является обратным преобразованием Фурье функции F (а), то

у (x,t) = f(x + vt), (J5.50) >

592 глава 15. интегральные преобразования

что соответствует волнам, распространяющимся соответственно в -!-дг- и —^-направлениях.

В том случае, когда граничное условие соответствует условию (15.42), а также задано в виде ограничения, наложенного на производную dy/dt, решение представляет собой особую линейную комбинацию волн.

Упражнения

1. Одномерное уравнение возраста Ферми (оно описывает диффузию нейтронов, замедляющихся в некоторой среде, например графите)

Qiq -{Л Qq {%

имеет вид—~ д^-і гДе <7—число нейтронов, которые

при своем замедлении попадают в область энергии, лежащую ниже заданного значения (за одну секунду в единице объема); т—возраст Ферми, характеризующий потерю энергии. Получить решение этого уравнения, полагая, что q (де, 0) — So (х) соответствует плоскому источнику в точке х=0, который испускает в одну секунду 5 нейтронов с единицы поверхности. Указание. Вместо q(x, т) рассмотреть новую функцию
Предыдущая << 1 .. 146 147 148 149 150 151 < 152 > 153 154 155 156 157 158 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed