Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
579
В разд.. 14.4 мы показали, что явление Гиббса удается в значительной мере подавить, если воспользоваться мно-
Рис. 14.4. Явление Гиббса для прямоугольной полны (числа означают количество просуммированных членов).
Рис. 14.5. Улучшение сходимости для представления прямоугольной волны: f(x) — суммирование 100 членов обычного ряда; fL(x) — суммирование 100 членов ряда при наличии множителя сходимости.
жителем сходимости. Рассматриваемая здесь волна прямоугольной формы в математическом смысле является, очевид-
37* 580
г ji а в а 14, ряды фурье
но, производной треугольной волны. Вновь запишем уравнение (14.66), положив в нем
т n=i
График суммы этого ряда до т — 100 показан на рис. 14.5. Всплеск, величина которого раньше достигала 18%, значительно снизился, но зато скорость нарастания фронта волны упала почти, наполовину. ГЛАВА 13
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
15.1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
В математической физике мы часто имеем дело с парой функций, связанных выражением вида
ь
g(a)=\f(t)K(a,t)dt. (15.1)
а
Функция g (а) называется интегральным преобразованием функции f (/), а К (a, t)—.ядром этого преобразования.
Преобразование Фурье. Одним из наиболее распространенных среди бесчисленного множества возможных преобразований является преобразование Фурье, определяемое соотношением
OO
*(Ct) = TT=- { f(t)e°'dt. (15.2)
V In
—со
В разд. 15.3 получены две модификации этой формы, которые называются косинус- и синус-преобразованиями Фурье:
*
__ OO
?с (а) = j/A J f (іІ) cos at dt, (15.3)
о
_ OO
?*(<*) = ]/j/(O sin of Л. (15.4)
O
Ядром преобразования Фурье служит функция е1а<, реальная и мнимая части которой дают отдельно cos at и sin а/. Кроме того, полезны три ядра е-а*, tJn (at),
Преобразования Лапласа, Меллина и Ханкеля. Эти преобразования определяются следующими формулами:
OO
преобразование Лапласа g (а) = f {(t)e~atdtt (15.5) 582 г Л Л 1} Л 15. ИИТКНМЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
преобразование Ханкеля (Фурье — Бесселя)
сю
ff I a) ^f(I)U „(at) dt, (15.6)
OO
преобразование Меллина g(a) — j f(t)ta ldt. (15.7)
о
Очевидно, интегральные преобразования могут иметь самую различную форму. Приведенные преобразования используются в математическом анализе и в физических приложениях. Мы уже сталкивались с преобразованием Меллина, не подчеркивая при этом его названия: g (а) — (а — 1)! есть преобразование Меллина функции f (i) = е~'. Точно так же? (а) = п\Ia14rl — преобразование Лапласа функции / (/) = tn. Из всех трех названных преобразований чаще всего пользуются преобразованием Лапласа. На нем мы подробно остановимся в разд. 15.7—15.11. Преобразование Ханкеля, которое фактически является преобразованием Фурье для функции Бесселя, представленной рядом, есть частный случай ряда Фурье — Бесселя.
Линейность. Все упомянутые интегральные преобразования линейны, т. е.
ь
lCifi(t) + cJ2(t)\K(a, t)dt =
і
а
h
- I Cjl (t) К (cc, t) dt + \ c2f2 (t) к (а, t) dt, (15.8)
(Г U
Ь Ъ
J cf (0 к (а, t) dt ^ Jf (t) к (CC, t) dt, (15.9)
а n
где c1 и c2 — постоянные, a fі (t) и /2 (t) — функции, которые подвергаются преобразованию.
Перепишем линейное преобразование в операторной форме, для чего определим оператор X, тогда
g (a) = XfV). (15.10)
Будем предполагать существование обратного оператора X"1, такого, что
/(О = 3-? (а). (15.11) 15.2. МнтегрАл фурьё
583
Оператор Х~1 последнего из трех преобразований Фурье приведен в разд. 15.3. Вообще, отыскание обратного преобразования составляет главную проблему интегральных преобразований. Обратное преобразование Лапласа рассмотрено в разд. 15.11.
Упражнения
1. Преобразование Фурье функции двух переменных определяется формулами
OO
F v)=j \f {х>у) elittx+By) dx dy>
— 00
co
/ {X, у) = .і- j j F (uy v) e-U^m du dv.
—00
Пусть /(*, y) = f([xZ + y2]V2). Показать, что преобразования Ханкеля нулевого порядка
со со
F (P) ¦= J rf (r)Jo (Pг) dr, f (г) = j VF (р) J0 (рг) dp о и
являются частными случаями преобразования Фурье.
2. Проверить преобразования Меллина:
OO
Xа- 1Sin (kx) dx = k~a(Ct -1)! sin , -1 < а < -L >
и
OO
j 1 cos (kx) dx = k~a (a —\)\ cos, O < a < -L.
O
15.2. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
В гл. 14 показано, что ряд Фурье применяется для представления некоторой заданной функции либо на ограниченном промежутке [0, 2л], (—L, Ll и т. д., либо на бесконечном интервале (—оо, оо), если функция периодическая. Теперь рассмотрим представление непериодической функции рядом Фурье на бесконечном интервале. Физически это означает разложение одного импульса или волнового пакета по синусоидальным волнам. 584 глава is. интегральные преобразования
Для промежутка [—L, L1 коэффициенты ап и Ьп можно . записать так (см. разд. 14.2):
Jb
(In = -L j/(Ocos---Л, (15.12)
-L L
i- J f (Z)Sin-^rf/. (15.13)
-L
С учетом этих коэффициентов ряд Фурье имеет вид
OO
/W = -ST J М<« + т S соS^ [ cosdt-(-
