Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Упражнения
1. Показать, что коэффициент деполяризации в системе координат вытянутого сфероида (T) = Tft)) в однородном магнитном поле равен
2. Заряженная проводящая изолированная оболочка в форме вытянутого сфероида 1) = % имеет потенциал Vo- Показать, что электростатический потенциал снаружи оболочки равен
V = IZ0-^oJlL=V0 ln IOfH-0/01-1)1
QoW "inI(T)0+ 1)/010-0] '
Какова емкость сфероида? Указание. Исследовать поведение этого потенциала па далеких расстояниях от оболочки.
3. Заряженная изолированная оболочка в форме сплющенного сфероида S = Eo имеет потенциал V = Vr0. Показать, что электростатический потенциал снаружи оболочки равен
V=V0 MiL^v0 arcct^
Qo (/Со) " arcctg So '
В пределе при So~*"0 мы получим диск радиусом а. Определить потенциал диска иа больших расстояниях от него и найти его полный заряд. Используя этот результат, показать, что емкость диска в единицах МКСА равна С=8еоа. 524
' ГЛАВА І2. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
12.11. ВЕКТОРНЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Магнитное поле замкнутого тока. Обсудим уравнение для магнитного векторного потенциала
Предположим, что граничные условия сформулированы применительно к сферическим координатам. Для замкнутого электрического контура (см. разд. І2.5) уравнение (12.261) поддавалось решению, поскольку на А накладывались различные ограничения. Вообще, это уравнение распадается на три скалярных уравнения, каждое из которых содержит все три компоненты A: Ar, Aq и Такие связанные друг с другом дифференциальные уравнения в принципе можно решить, но при этом возникают громадные трудности.
Полагая V-A = O, можно привести исходное уравнение к векторному лапласиану V2A. В декартовых координатах он распадается па отдельные уравнения, по одному на каждую компоненту. К сожалению, граничные условия заданы в сферических координатах. Чтобы удовлетворить этим условиям, мы должны перепутать отдельные компоненты Axj Ay и Azt что опять приводит к большим затруднениям.
Чтобы облегчить решение уравнения (12.261), а также и других уравнений (таких, например, как векторное уравнение Гельмгольца и векторное волновое уравнение), применяют различные комбинации (скалярных) сферических функций, с помощью которых строят векторы в сферических координатах. Одна такая комбинация, встречающаяся в квантовой механике, описана Хиллом *. Три ее векторные сферические функции имеют вид
* Hill Е. Н. Amer. J. Phys., 22, 211 (1954); см. также Б л а т т Дж., Вайскопф В. Теоретическая ядерная физика. Перев. с англ. M., Изд-во иностр. лит., 1954.
VxV Х.А = Ji0J'
(12.261)
(12.262) 12.11. ВЕКТОРНЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
«25
Y О Г -M V*0 I f аУМ
x^m=0oI1ML+ I)]'/2sine Уь/+ф0 Va+i)]l/2^i •
(12.264)
Эти функции удовлетворяют общему условию ортогональ-
ности
j ALArBbf'd? = 6ABoLr/6MM>, (12.265)
где величины А и В могут заменяться на V, X или W. Ортогональность проверяется подстановкой явных выражений для V, X и W и сведением интеграла к обычному интегралу от ортонормированных сферических функций
Yl (Є, <р).
При операциях, связанных с изменением четности (инверсия координат), векторные сферические функции преобразуются по закону
Vuf (Є', ф') = (-1)І+1УЬм(Є, Ф),
WLM(o>'H(-l)L+1WLAf(0^),
XLM (0',Ф') = (-1)ЬХьм(Ф, 0),
(12.266)
где
0' = Jt — 0; ф'=л + ф. (12.267)
При проверке этих соотношений следует помнить, что в сферических координатах единичные векторы г0 и ф0 — нечетные, а 90 — четный. Эти свойства векторов г0, 90 и ф0 можно установить, если выразить их через единичные векторы декартовой системы координат i, j и к.
Чтобы продемонстрировать использование векторных сферических функций, вернемся снова к уравнению (12.261). Воспользуемся таблицей Хилла для дифференциальных соотношений:
V-lF(r) Vlm(9, ф)]= -(gl)"2 [? + ^f] УІ'(9,ф),
(12.268) 526 ' Г Ji А із А 12. функции ЛежАндрА
V - IF (г) Wlm (0, ф)] = ()''* [§-kzl F] У? (0, ф),
(12.269)
V-IZ7WXlm(Oi9)I = O. (12.270)
Условие
V-A-O (12.271)
исключает функции Vlm и Wlm, оставляя только Xlm. В отсутствие тока J = O (иными словами, вне замкнутого контура) уравнение (12.261) при выполнении условия (12.271) сводится к новому уравнению
V2A = 0. (12.272)
Используя другое дифференциальное соотношение с Alm -:= = R (г) Xlm (0, ф), получаем
* [R (г) Xlm (0,,)] = [« + -L § - R] Х,,и = 0.
(12.273)
В согласии с уравнением (12.116) мы имеем
ALM = ?LMr-L-'XLM(0, ф). (12.274)
Кроме того, очевидно, что в силу симметрии замкнутого контура можно исключить азимутальную зависимость (М = 0), поэтому решение принимает следующий вид: ¦
Полученное уравнение эквивалентно (12.119). Постоянные аь определяются из граничных условий, как это было сделано в разд. 12.5 для коэффициентов сп. Магнитное поле можно определить из уравнения
V X IF (Г) Xblf] = / (2ту1/2 [fr + F] \LM 4-
-нШЧЇ+Ф']»- <12-276>
которое соответствует уравнению (12.122). Здесь F (г) = 12.11. RF.K.TOPHЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
527
Векторные функции введены в этой главе применительно к требованиям математического аппарата квантовой механики, в которой момент количества движения играет важную роль. Морс и Фешбах описывают другой набор векторных сферических функций В, С и Р, в котором радиальная зависимость целиком сосредоточена в Р, а угловая — в В и С. Эта система сферических векторных функций с успехом применяется при рассмотрении волновых функций, когда мы хотим отделить продольную и поперечную составляющие волны.
