Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Деформируем теперь контур интегрирования С в контуры C1 и C2. Такое изменение контура обеспечит обращение полного дифференциала в нуль при t 0 за счет множителя е_5С/2'. Следовательно, каждая раздельная часть, соответствующая пути интегрирдвания от оое-ія до 0 и от 0 до ооеія, есть решение уравнения Бесселя. 11.3. Функций хАнкеЛя
43?
Определим
M=-ST і ^ul-tmJTfT' (11Л02)
о о
о
J с,ї/2,('-,;"-^гт- (Ч-ИЮ)
Эти выражения особенно удобны в практических приложениях, поскольку к ним применим метод перевала (см. разд. 7.4). Функция ff(vl) (х) имеет седловую точку при t = + і, а функция #v2) W при t = — І.
Остается теперь связать функции Ханкеля (11.102) и (11.103) с определениями (11.90) и (11.91). Проверкой можно, убедиться, что комбинация интегралов (11.101) и (11.102) и (11.103) приводит к
Это можно сделать с помощью подстановки t = ein^8 для функции Я(1) и t = e~in/s для функции Я(2>:
Наконец, записав J.v (х) через Hvy (х) и Н™ (х), можно выразить правую часть (11.105) через Jv и J.v. После этого уравнение (11.105) сведется к (11.60) и, следовательно, получив первоначальное определение функции Неймана, мы тем самым показали, что два контурных интеграла (11.102) и (11.103) действительно представляют функции Ханкеля. Подробности этого доказательства вынесены в упр. 2.
В заключение приводим соображения, которыми мы руководствовались, определив функции Ханкеля: 1) они применяются для описания бегущих волн; 2) позволяют по-новому (с помощью контурного интеграла) определить функции Бесселя действительного и мнимого аргумента Kv.
Nv (X) = ± ІЯІ» (X)~ #v2) «Ь (П. 105)
H^ (X)=Q-i^H1Vv (х) H<® (х) = (х).
(11.106) (11.107) №
. 1'Jl Л ft Л 11. ФУНКЦИИ KECCFJltf
Упражненил
I. Проверить следующие формы определителя Вронского: Zv (X) H^'(X)-J'V(X) Hp{x) = -t2
Jv W К2У (X)-jV
-Vv (X) HW (X)¦-/Vv (X) H^ (X) =--Nv(X) H[fy(x)-N'v(x) Н™ (X)-.
TlX -/2 пх — 2 TLX -2
пх
/4
н™ (X) Н% (X)-Hp (X)IiWl(X) Jv^(x)H^ (x)-Jv(x) Hyi(X)^1
ІЯХ 2_ тх
Сз
LJt
-ы Ci
co-l-
oo -lit
Рис. 11.5. Контуры интегрирования для функции Ханкеля. 2. Показать, что интегральные представления
JL
in
сое
гя
OCi
о
_L
in
J tW-W-?j—HVHx)
оое-глС2 11.4. ФУНКЦИИ ПР.ССПЛ5! МНИМОГО АРГУМЕНТА
439
удовлетворяют. дифференциальному ураписиию Весселя. Контуры интегрирования Ct и C2 показаны на рис. 11.4.
3. Используя эти интегралы, показать что
Jf [Н[[) (х)-Н^ (X)I = Nv (х).
4. Привести их к виду
H(J) (X) = -L- j е*1511 ^dyt Н^(х) j e*shv-vv dy,
C3 C4
где C3 и C4 показаны на рис. 11.5.
11.4. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ МНИМОГО АРГУМЕНТА
В физике часто встречается уравнение
У (X)+ xJ^ У M - + 0, (11.108)
которое можно привести к уравнению Бесселя, делая замену:
_ ., d . d „ d2 <2 d2
Х~~ * dt ' Ж '
Тогда
+ + (11.109)
a #( — it) — функция Бесселя. Обычно нормировку выбирают так, чтобы
у (jc) = Ix (х) = i-*Jv (ix). (11.110)
Часто новую функцию записывают в виде
МФ-е-v3tiZ2J v(xein/2). (11.111)
Представление рядом. Такое представление можно получить, опустив множитель (— 1)я в выражении (11.5) и записывая
OO
1 / X \2sfv
M*)-Ssl(s + v)! (2)
S=O
OO
1 / X \ 2s—V
(11.112)
'-M=2 ^(7)
Для целых V
(s-v)i
S=O
U(X)^Ln(X). (11.113) 440 Г Л А В А II. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
Рекуррентные соотношения. Рекуррентные соотношения для функции Iv (X) можно получить, используя представление этой функции рядом, однако легче применить аналогичные соотношения для Jv (*). Заменим х на —ix и перепишем уравнение (11.110):
Jv(x) = ivIv ( — ix), (11.114)
тогда (11.10) приведется к виду
jv-i/v-i ( - ix) + *'V+1/v+l ( - ІХ) = — tV/v ( - ix).
JC
Заменив здесь x на ix, получим рекуррентную формулу для Iv(x):
/V4W-I-ZvhW = -ZVW. (11.115)
Уравнение (11.12) переходит в
W-/v+I W ==2/; (я). (11.116)
Эти рекуррентные формулы уже встречались в разд. 11.1, упр. 10.
Из уравнения (11.113) следует, что для целого v имеется только одно независимое решение, точно так же, как и в случае функций Бесселя Jv. Выбор второго независимого решения уравнения (11.108) является исключительно вопросом удобства. Второе решение, которое здесь приводится, найдено из условия асимптотического поведения, этот метод подробно рассматривается в следующем разделе. Многие авторы определяют второе решение через функцию Ханкеля Hv* (х):
Kv (X) =: ~ i*H//5> (ix) = у t'v+i [/v (cjc) -f iNv (X)J. (11.117)
Воспользовавшись здесь соотношениями (11.60) и (11.110), можно привести функцию KvW к виду*
Kv(X) = — ¦ 7-v(*)-M*) (11.118)
vv ' 2 sinVJi 1 v '
который аналогичен записи (11.60) функции Nv (х). Выбор выражения (11.117) в качестве определения неудобен потому, что функция Kv W не удовлетворяет тем же рекуррентным соотношениям, что и Iv (дг) (см. ниже упр. 4).
* Для целых п делают предельный переход v гі, 11.4. функции бёссёля мпймогозаргумёнта 441
Чтобы избежать этого, иногда включают дополнительный множитель cos пп, в результате чего Kv удовлетворяет рекуррентным соотношениям для Iv; однако новое определение имеет некоторый недостаток, связанный с тем, что /Cv-O для V = 1/2, 3/2, 5/2, . . .
