Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
* В гл. 12 и 13 показано, что эти полиномы являются решениями соответствующих уравнений.9.3. ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ (МЕТОД ШМИДТА) 379
начинать работать с функциями, их необходимо нормировать на единицу. В разобранном примере надо потребовать, чтобы
і
j фл (х) фш (X) dx = onm' (9,44)
только после этого полученная система функций на самом деле окажется составленной из полиномов Лежандра. Во-вторых, знак q>n всегда неопределенен. В этом примере мы требовали, чтобы знак члена с наивысшей степенью х в полиноме был положительным. В случае полиномов Лагерра наивысшая степень должна иметь множитель (-1)ПМ!
Упражнения
1. С помощью метода Шмидта #получить первые три полинома Лагерра, рассматривая набор функций ип(х) = хп, п = О, 1, 2, ... на интервале 0 < X <оо с весовой функцией w (*) — е-*, используя условие нормировки
OO
j Lm (х) Ln (х) е-* dx = 6mtt. (9.45)
о
Ответ: I0 = 1. Li=I-Xt L2 = {2 — 4х + *2)/2.
2. Получить первые три полинома Эрмита, рассматривая те же
функции на интервале — оо < х < оо, если ш (*) = е~* ,
OO
a J Hm (х) Hn (х) W (х) dx = bmn2mrn\ зх1 /2 — условие нормировки.
-OO
Ответ: H0 = 1, И j = 2х, H2 = 4х* — 2.
3. Получить первые три полинома Чебышева (типа I и И), если отрезок задан неравенствами: — 1 ^ х 1, а условия нормировки имеют вид для полиномов типа I:
J С я, т = п = 0,
\ Tm(x)Tn(x)w(x)dx = bmn< п ^ ,
Ji [у, т = л> I,
где ю (*) = (! — x*)~i/2.
Ответ: T0 = Ij T1=X1 Тг = 2х2—1, (T3 = 4*3—3*). Для полиномов типа II
J Vn (X) Um (X) W (X) dx=omn у , W (X) = (I -*2)1/2.380 Г JI А В Л 9. ТЕОРИЯ ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ
Указание.
(п 1-3-5...(2д-1) . 9 « г 1/2 J 1 2 4-6-8.. .(2/1-}-2)
Л
Ответ: U0=I, Ui = Ix, U2 = W-1.
4. Получить систему функций, ортогональных в интервале 0-< <х<оо, используя функции ип (х) — е-71*, /г=1, 2, 3, ... Весовой множитель W (х) положить равным единице. Функции Un (х) являются решениями уравнений и"п—Фип = 0 и, очевидно, записаны в самосопряженной форме. Почему теория Штурма—Лиувилля не гарантирует ортогональности этих функций?
9.4. ПОЛНОТА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Третье важное свойство эрмитова оператора заключается в том, что собственные функции этого оператора образуют полную систему *. Это означает, что любая «хорошая» функция F (х) (по крайней мере, кусочно-непрерывная) может быть аппроксимирована ряддм
OO
FW = S flwpnW (9.46)
п=0
с любой заданной степенью точности **. Точнее, система Ф„ (х) называется полной ***, если
OO
Iim \ |> (JC) - Y ад>п МІ' w W dx = 0. (9.47)
w-k.ro JU -I
m-> оо
a Ti=O
Отметим, что эрмитовы операторы являются самосопряженными линейными дифференциальными операторами второго порядка.
* Доказательство см., например, Курант Р. и Гильберт Д. Методы математической физики. Перев. с англ. М.— Л., Гостехиздат, 1951.
** Если в системе конечное число функций, то суммирование производится по линейно независимым членам этой системы. *** qacT0 такие системы называют замкнутыми.9.4.ПОЛНОТА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 1
381
Умножая соотношение (9.46) на ф?п (х) w (х) и интегрируя полученный результат, получаем для коэффициентов
ь
ат = j F (х) (pm (х) W (х) dx. (9.48)
а
Здесь мы использовали свойство ортогональности собственных функций.
Если набор функций cpFV (х) не образует полной системы, может быть, просто из-за того, что в него не включено требуемое бесконечное множество членов, мы придем к неравенству Бесселя. Рассмотрим сначала случай с конечным числом членов. Пусть А — /г-компонентный вектор:
А = e,aj + е2а2 f ••• (9.49)
где е* — единичный вектор, а соответствующая компонента А, т. е.
aj = А-Є/. (9.50)
Тогда
(А-2вд)2>0. (9.51)
і
Неравенство Бесселя. Если суммирование производится по всем компонентам, то, очевидно, результат, согласно (9.49), равен А, и мы имеем равенство. Если, однако, сумма не включает всех компонент, мы придем к неравенству. Раскрывая скобки в соотношении (9.51) и учитывая, что единичные векторы удовлетворяют условию ортогональности
ereJ = oiJ, (9.52)
• получаем неравенство Бесселя
A2 > $al (9.53)
і
Чтобы распространить это неравенство на функции, рассмотрим интеграл ъ
J [!(X)-^awi(X)J W (X) dx>Q. (9.54)
a і382 Г JI А В Л 9. ТЕОРИЯ ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ
При W (х) > 0 подынтегральная функция неотрицательна. В согласии с (9.46) этот интеграл обращается в нуль, если система функций — полная, и, вообще говоря, он положителен. , После возведения в квадрат получим
ь
j [f {x)\2 WX dx-2^1^1 (х) {x)w(x)dx-\ ^at>0. (9.55)
а і а і
Воспользуемся равенством (9.48), тогда
ъ
j [f (х)]2 W (х) dx> % al (9.56)
а і
т. е. сумма квадратов коэффициентов разложения Cti меньше или равна интегралу от взвешенного квадрата функции [/ (*)]2, равенство выполняется в том, и только в том случае, если разложение — точное (система функций <рп (*) полная).
Неравенство Шварца. Рассмотрим квадратное уравнение
«
S (atx + bi)2 = 0. (9.57)
І =г 1
Поскольку при вещественном X любой член этого уравнения больше или равен нулю, решение его может быть вещественным только в том случае, если ^ai — постоянное. Если это отношение не равно некоторой постоянной, X может быть комплексным. Возведем в квадрат