Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
До сих пор мы имели дело с ненормированными функ-
ь
циями. Это означает, что j ф!wdx — N1, где Ni - просі
извольная константа. Поскольку основное уравнение (9.6) линейно и однородно, решение этого уравнения можно умножить на любую постоянную; полученное произведение также будет решением. Теперь каждое решение фі (х) умножим
* Такая система функций может возникнуть при решении дифференциального уравнения в частных производных, в котором собственное значение не зависит от одной или нескольких констант разделения. Примером служит задача об атоме водорода (см. разд. 13.2). Собственное значение (энергия) не зависит ни от орбитального момента количества движения электрона, ни от его проекции т на ось г. 9.8. ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ (МЕТОД ШМИДТА) 375
на Wr1, тогда новая (нормированная) функция Cpi будет удовлетворять условию
ь
j(p? (JC) W (X) dx^\ (9.24)
а
ИЛИ
1>
j ФІ W Фі W w W dx=bij. (9.25)
a
Условие (9.24) означает, что функции ср нормированы на единицу. Соотношение (9.25) учитывает еще и ортогональность функций. Функции, удовлетворяющие условию (9.25), называются ортонормированными (т. е. они ортогональны и нормированы на единицу). Возможна и другая нормировка. Действительно, как мы увидим ниже, исторически получилось так, что специальные функции математической физики (см. гл. 12 и 13) нормированы различным образом.
Предположим, что ип (х)у п = 0, 1, 2, . . . образуют систему линейно независимых, но неортогональных и ненормированных функций. Пусть
Фо (*) = "о W /( j dx j1/2, (9.26)
т. е. фо (*) нормирована на единицу. Определим ненормированную функцию
Фі (х) = ЯіоФо W + "і М> (9.27)
где G10 — неизвестная постоянная. Потребуем, чтобы фі (х) была: 1) ортогональна функции ф0 (х) и 2) нормирована на единицу.
Из требования ортогональности получаем
I Фіф0адdx = ai0 j ф^шdx-f j щщwdx = 0. (9.28)
Далее, поскольку ф0 нормирована на единицу, имеем
al0= — j utftfludx. (9.29)
Нормируя функцию фі(*), получим
Ы*) ,OQm 376 Г JI А В Л 9. ТЕОРИЯ ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ
Соотношение (9.30) в общем виде запишется так:
(9.31)
где
фі(*) = а«оФо + аифі+ ... -ИІМФМ + «*; (9.32)
Заметим, что хотя мы рассмотрели единственно возможный способ построения системы ортогональных или орто-нормированных функций, сами функции (х) не являются единственными. Для заданных отрезка и весовой функции существует бесконечное множество возможных систем орто-нормированных функций. В качестве иллюстрации рассмотрим два непараллельных вектора А и В в плоскости ху. Нормируем А на единицу и затем образуем вектор, равный В' = а В + А, так что В' будет перпендикулярен А. Построение нормированного вектора В' и есть как раз ортогоиализация двух векторов. Однако любые два перпендикулярных вектора, например, такие, как inj, можно выбрать в качестве ортонормированной системы. И опять, бесконечное число возможных поворотов векторов і и j вокруг оси Z дает бесконечное число возможных ортонормированных систем.
Пример. Образуем ортогональную систему на отрезке — 1 <1 <*<! из набора функций ип(х)=хп, О, 1, 2, ... с помощью весовой функции
В соответствии с методом ортогонализации Шмидта
(9.33)
«о=1> Фо =
V2'
(9.34)
тогда
(9.35)
а
(9.36)
Пронормировав, получим
(9.37) 0.3. ОМОГОИАЛИЗЛЦИЯ ФУНКЦИЙ (МЕТОД ШМИДТА) 377
Продолжим этот процесс:
Ь M - «20 7? + «21 * + (9.38)
|/2 Y г
Снова с учетом симметрии 1
«2о~ І/4*3^ (9-39)
J1 1/2
откуда
Ь W = • (9-4°)
После нормировки на единицу
Ф2<*) = |/}4(3*а~1)- (9-41)
Аналогично
Фз
Вообще (см. гл. 12),
Фп (X) = У(2/1+ 1)/2 Pn (*), (9.43)
где P11 (х)—полином Лежандра л-го порядка. Таким образом, метод Шмидта позволяет, правда очень громоздким и неудобным способом, получить полиномы Лежандра.
Ортогональные полиномы. Рассмотренный пример хорошо иллюстрирует метод ортогонализации Шмидта. С помощью этого метода можно построить полиномы Лежандра, хотя первоначальные функции не являются решениями уравнения Лежандра и не образуют системы вырожденных собственных функций. Это просто набор функций, которые служат основой для получения системы функций, ортогональных с данным весом в заданном интервале. То, что полученные полиномы оказались полиномами Лежандра, не является неожиданностью, это — прямое следствие выбора интервала и весовой функции. В табл. 9.2 приведены ортогональные полиномы, полученные ортогонализацией функций Un (х) = Xn1 для разных интервалов и весовых функций.
Подробное изучение метода ортогонализации позволяет установить два важных момента. Во-первых, прежде чем Таблица 9.2
Полиномы * Интервал Весовая функция W (х) Нормировочная постоянная
Лежандра — 1 <*<1 1 I j[P„ Wl2^-2/1+1 — 1
Чебышева I — 1 <х<1 (I-Ara)-V2 — 1
Чебышева Il — 1<л:<1 (1— Х2)У2 1 j [Vn(X)Wil--X*)1'* dx=Y
Лагерра 0<*<оо е~х OQ j [Ln (x)]Ze-*dx = 1 O
Лагерра, присоединенные Эрмита 0<*<оо — OO < А- < OO хке~* е—2 OO \ [L-n (X)Pxk e~*dx — + k)-J /l» O OO j [Hn (x)]2 e~x2 dx = 2пл1/2п\ -OO
