Логика естественных рассуждений - Кулик Б.А.
ISBN 5-7940-0080-5
Скачать (прямая ссылка):
А<ЛВ МЩ А\В
Рис. 3
Хотелось бы обратить внимание на следующее важное обстоятельство. Для множеств А и В, у которых нет общих элементов, справедливы следующие соотношения:
АГ\ В = 0 и Л <= В.
Ситуацию, соответствующую этим соотношениям, можно наглядно представить с помощью диаграммы Эйлера (рис. 4).
/-—-
и
0
CZ
)
Рис. 4
Теперь у нас достаточно понятий для того, чтобы отобразить в виде математической формулировки приведенное выше определение хорошего поступка. Пусть у нас универсумом будет множество всех поступков. Обозначим А —- множество хороших поступков, В — множество поступков, приносящих добро хотя бы одному человеку, и С — множество поступков, никому не приносящих зла. Тогда математической формулой данного определения будет
Л Є (В ПС). (1)
Можно также использовать другую формулировку этого определения, если определить множество Скак множество поступков, каждый из
2. Основные понятия алгебры множеств
21
которых приносит зло хотя бы одному человеку. Тогда мы получим следующую формулировку:
А ? (В П С), (2)
в которой уже используется операция дополнения множеств. Заметим, что формуле (1) соответствует также приведенная в первом разделе строка из "Евгения Онегина". Этой же форме соответствует вполне строгое математическое определение: "Квадрат — это прямоугольник с равными сторонами". В последнем случае в качестве универсума можно взять множество четырехугольников, В — множество прямоугольников, С — множество четырехугольников с равными сторонами. Если использовать диаграммы Эйлера, то мы можем получить наглядное изображение этих формул (рис. 5 и 6). >
U
Рис. 5
Рис.6
Правда, для приведенного выше определения квадрата диаграмма, представленная на рис. 5, не совсем подходит, потому что в этом случае справедливо не отношение включения, а отношение равенства: Л = (В Л С), Известно, что "квадрат" и "прямоугольник с равными сторонами" — это одно и то же. Но если рассматривать отношение ^ как "включено или равно" и не обращать при этом внимания на указанную диаграмму, то окажется, что отношение А1— (В С\ С) не противоречит точному определению квадрата. В реальных рассуждениях состав "предикатов", содержащихся в правой части суждения, как правило, не является достаточным для точного определения, поэтому, чтобы не попасть впросак, целесообразно в дальнейшем использовать в подобных записях не отношение =, а отношение
Количественные соотношения в диаграммах Эйлера (т. е. в данном случае — площади фигур) не принимаются во внимание. Среди наших знаний немало таких, когда мы не знаем, чему равно число элементов множества, но это не мешает нам знать о том, что некоторые из таких множеств строго включены в некоторые другие множества или что некоторые из таких множеств точно не содержат общих элементов с некоторыми другими множествами. Количественный анализ множеств во многих случаях является составной частью наших знаний, но здесь мы не будем заниматься проблемами количественного анализа. Оказывается,
22
2. Основные понятия алгебры множеств
даже в такой сугубо качественной системе возникает немало интересных задач и методов их решения.
Математические формулы (1) и (2) являются частными случаями более общей математической структуры, которую далее мы будем называть суждением. В форму суждений можно перевести многие предложения естественного языка. Математические и логические свойства этой структуры мы подробно рассмотрим в следующих разделах. А пока приведем некоторые общие законы алгебры множеств, которые необходимы для более глубокого понимания этих свойств.
Законы алгебры множеств — это по сути теоремы, которые выводятся из основных определений и аксиом. Часто приводятся 26 или 28 законов алгебры множеств. Разумеется, они не исчерпывают всех возможных соотношений этой алгебры. Здесь мы приведем без доказательства лишь некоторые из них, необходимые для понимания дальнейшего материала. Пусть А, В, С — некоторые произвольные множества в универсуме U. Тогда законами алгебры множеств являются следующие соотношения между ними.
1. 1 = А.
Пример5. Пусть U= {a,b,c,d)n P = {а,с}.ТогдаP = {b,d)иP= {а,с) = Р. В логике этот закон известен под названием закон отрицания отрицания (или закон двойного отрицания): не (не-Л) — то же самое, что и А.
2. А Л А = 0 (множество и его дополнение не имеют общих элементов). В логике этому закону соответствует закон непротиворечия (утверждение и его полное отрицание логически несовместимы).
3. A U А = U.
В логике этому закону соответствует закон исключенного третьего (совмещение любого утверждения и его полного отрицания не допускает присутствия какого-либо третьего промежуточного варианта).
Следующие соотношения характеризуют более подробно свойства пустого множества и универсума:
4. 0 = 1/. 7. Ли 0=А.
5. U = 0. 8. Л л U-A.
6. Л л 0 = 0. 9. Ли U=U.
Следующие законы алгебры множеств связывают друг с другом отношения включения и равенства:
10. Из Л <= В следует:
10.1. Л Л B = A.
