Логика естественных рассуждений - Кулик Б.А.
ISBN 5-7940-0080-5
Скачать (прямая ссылка):
18
2. Основные понятия алгебры множеств
принятого за универсум. В современной математике известны также системы множеств без универсума, но нам они здесь не понадобятся.
Для универсума нет общепринятых обозначений. Далее мы будем обозначать его символом U. В отличие от современной (Канторовой) теории множеств, в алгебре множеств предполагается, что системы множеств составлены из множеств, которые не могут быть одновременно элементами этой системы. Элементами можно считать лишь имена этих множеств в тех случаях, когда система множеств представлена также множеством имен (или обозначений) составляющих ее множеств. Тем самым устраняются многие двусмысленности и парадоксы теории множеств, которые получаются, если считать, что некоторые множества (но не их имена!) могут быть одновременно и элементами других множеств.
Перейдем к операциям. При определении операций для упрощения мы будем использовать понятие "элемент", предполагая при этом, что понятия "множество" и "элемент" сугубо разнородные понятия и любое множество ни при каких условиях не может быть элементом. Даже если множество состоит из одного элемента, то можно сказать, что это одноэлементное множество, и рассматривать его как обычное множество, но не как элемент. Начнем с операции дополнения.
Определение 2. Дополнением множества Л называется множество А, содержащее только те элементы универсума, которые не являются элементами множества А.
В логике дополнению множества часто соответствует отрицание. Например, "не красный" — любой возможный цвет, кроме красного. Обычно дополнение множества обозначается с помощью черты, расположенной над символьным обозначением этого множества. Например, /?? является обозначением дополнения множества Rn1.
Пример 1. Пусть U = {a, b,c,d}nP = {а, с}. Тогда P = {b, d). Определим еще две основные операции — пересечение и объединение множеств.
Определение 3. Пересечением множеств А и В называется множество С — А п В, все элементы которого являются одновременно элементами множеств Ли В.
Например, пересечением множества А всех чисел, делящихся на 2, и множества В всех чисел, делящихся на 3, является множество С всех чисел, делящихся на 6.
В логике операции пересечения соответствует логическая связка "И" (обозначается как Л или &). Если речь идет об объектах со свойством P или Q, то логическая формула PaQ означает, что речь идет только об объектах, которым присущи оба этих свойства. Если, допустим, свой-
2. Основные понятия алгебры множеств
19
ствам P и Q соответствуют некоторые множества Sp и Sq, то пересечение этих множеств Sp п 5q будет состоять из элементов, каждому из которых присущи свойства PhQ.
Пример 2. Пусть A = {a, b,c,d}nP = {а, с,/}. Тогда An P= {а, с}.
Определение 4. Объединением множеств AwB называется множество C = A U В, все элементы которого являются элементами по крайней мере одного из этих множеств.
В логике операции объединения соответствует логическая связка "ИЛИ" (обозначается V). Если речь идет об объектах со свойством P или Q, то логическая формула P V Q означает, что речь идет только об объектах, которым присуще хотя бы одно из этих свойств. При этом допускается, что объекты, которым присущи оба свойства, также относятся к этому классу объектов.
Пример 3. Пусть A = {a, b,c,d}nP= {а, с,/}. Тогда A U P = {а, Ь, с, d,f).
Обратите внимание, что в примере 3 элементы а и с, которые содержатся в каждом из множеств А и В, в объединении С не удваиваются, а содержатся как однократные. В математике и ее приложениях иногда используют множества с кратными элементами (они называются мультимножествами), но нам такие экстравагантные множества не понадобятся. В них некоторые законы не совпадают с законами обычной алгебры множеств.
Для обозначения операций пересечения и объединения множеств используются соответственно символы Пии.
Определение 5. Разностью множеств А и В называется множество С = А\В, которое содержит только те элементы множества А, которые не являются одновременно элементами множества В.
Пример 4. Пусть А = {а, Ъ, с, d) и P = {а, с, J]. Тогда А\Р = {b, d).
Важно отметить, что разность множеств является производной операцией. Это означает, что ее можно выразить с помощью других основных операций, — для разности множеств справедливо следующее соотношение:
А\В = А П В.
Если в примере 4 задать универсум, например U = {а, Ь, с, d, е, /}, то нетрудно убедиться в справедливости этого равенства.
В то же время операцию дополнения можно выразить с помощью операции разности: А = U\A. В некоторых версиях алгебры множеств операция разности множеств представлена как основная операция, а операция дополнения — как производная операция. Однако основные соотношения (или законы) алгебры множеств при этом остаются неизменными.
20
2. Основные понятия алгебры множеств
На рис. 3 соответствующие операции над множествами изображены с помощью "кругов Эйлера". Серым цветом показаны результаты операций. Условимся в качестве универсума использовать прямоугольник, а в качестве обычных множеств — круги или эллипсы. С учетом этого будем в дальнейшем называть наглядные изображения, введенные Эйлером для пояснения математического смысла суждений, не кругами, а диаграммами Эйлера.
