Логика естественных рассуждений - Кулик Б.А.
ISBN 5-7940-0080-5
Скачать (прямая ссылка):
С точки зрения логического вывода неполнота конкретной QC-структуры означает, что для нее существует по крайней мере одно содержащее только базовые литералы суждение, которое не выводится из исходных посылок, но в то же время совместимо с ней.
В следующем утверждении формулируется точный критерии корректности гипотез в f-структурах.
Теорема Б. 10. Пусть А — В - невыводимое базовое суждение корректной Е-структуры Е. Тогда А — В является корректной гипотезой в Е, если и только если совместно соблюдаются два равенства: А П В — 0 и Av П Inv(Ba) = 0.
114_Приложение Б. Частично упорядоченные множества
Доказательство. Образуем из E новую /^-структуру Г, добавив в E суждение А —* В. Обозначим PoSt^(A) — множество потомков литерала Л в E и Postr(A) - множество потомков литерала Л в Г. Тогда в соответствии с теоремами Б.5 и Б.6 в E соблюдаются равенства (і): Лу П PoStE(A) = 0 и (іі): Лу П Inv(PostE(A)) - 0. Поскольку Л — В является невыводимым суждением в Е, то в Г литерал Л является узлом, в котором фиксируются все новые следствия, появившиеся после добавления в E суждения Л — В. При этом множество А4 не изменяется, а множество Postr(A) = PoSt^(A) U Вл. В силу равенств (і) и (ii) для оценки корректности гипотезы достаточно равенств, сформулированных в условии теоремы. Конец доказательства.
ПримерБ.5. Пусть задана следующая Е-структура Е: X — (У); У— (Z); V-* (Y). Рассмотрим диаграмму Хассе Е" этой структуры (рис. Б.З).
X—>y—**z
рис. б.З рис. б.4
X->Y-*¦/-
рис. б.5 рис. б.6
Используя критерий, приведенный в теореме Б.10, проверим множество всех невыводимых элементарных суждений. Тогда получим следующее множество корректных гипотез:
X-* V, X-V, X-V V-X, V-X, V-X.
Этот список можно сократить до трех, если из каждой пары (гипотеза и ее контрапозиция) оставить только одну гипотезу. В частности, мы можем получить такой список корректных гипотез:
X-V, X-V1 V-X
Достаточно включить в E любую из этих гипотез, чтобы новая Е-структура оказалась полной. Диаграммы Хассе .Е-структур, получен-
ных при добавлении в исходную структуру одной из дуг последнего списка, показаны на рис. Б.4-Б.6.
Рассмотрим в Е-структурах альтернативные пары элементарных суждений, т. е. такие пары, которые при соединении друг с другом инициируют коллизию парадокса. Ясно, что для суждения типа A-^B альтернативным может быть одно из следующих суждений: A-* В или A-*В. Нетрудно убедиться, что при соединении A-* В и A-* В следствием является коллизия парадокса А—> А, а при соединении А -* В с A-* В - коллизия парадоксаB-* В.
С альтернативными парами возможных гипотез связан ряд интересных соотношений. При анализе многочисленных примеров неполных Е-структур была выявлена следующая закономерность: в неполных Е-структурах для каждой элементарной гипотезы существует по крайней мере еще одна альтернативная по отношению к ней гипотеза. Так, на исходной Е-структуре из примера Б.5 можно убедиться, что для каждой из шести возможных элементарных гипотез в этом множестве имеется соответствующая ей альтернативная гипотеза. Эта закономерность подтверждалась на многих значительно более сложных примерах.
Поскольку не было построено ни одного опровергающего примера, предпринималась попытка доказать следующее утверждение.
Предположение. Еслм суждение А —> В является корректной гипотезой корректной Е-структуры Е, то по крайней мере одно из двух альтернативных ему суждений также является корректной гипотезой в Е.
Попытки оказались неудачными, но в ходе поиска доказательства был найден ряд интересных соотношений, связанных с существованием альтернативных пар гипотез, с помощью которых удалось построить сравнительно простой опровергающий пример. Начнем с примера.
Пример Б.6. Даны посылки Е-структуры Е: С — (А, В); А — D; В -* D. Оказывается, что в E суждение А —> В является корректной гипотезой, но в то же время каждое из альтернативных к А —> В суждений (т. е. А —> В и А -* В), присоединяясь к Е, вызывает коллизию парадокса. Чтобы лучше понять, почему это происходит, построим диаграмму Хассе для Е, на которой можно наглядно оценить структуру этого не совсем обычного примера (рис. Б.7).
C^Za *Я->D
116
Приложение Б, Частично упорядочение множества
На рисунке видно, что А—* В является корректной гипотезой, но в то же время суждение А ~* В инициирует в E коллизию парадокса C-* С, а суждение A-* В — коллизию парадокса D~* I).
А теперь рассмотрим ряд соотношений, Непосредственно связанных с альтернативными парами корректных гипотез в /{-структурах.
Теорема Б.11. Если суждение А-+ В является корректной гипотезой Е-структуры Е,товЕ соблюдаются следующие соотношения: П(5)Л=г0; (и)(Л)уПВл = 0.
Доказательство Докажем (і). Предположим, что Av П (В)Л ^ 0Хледова-тельно, существует литерал W, относительно которого литерал В является предшественником, а литерал А — потомком. Отсюда следует, что В является предшественником литерала А и гипотеза A-* В некорректна в силу коллизии парадокса В -* В. Из полученного противоречия следует справедливость (і). Докажем (іі). Предположим, что (A)v П ?A ^ 0. Следовательно, существует литерал V, относительно которого литерал В является предшественником, а литерал А — потомком. Отсюда следует, что в Е^существует суждениеB-* А. Поэтому гипотеза А -*_В не может быть корректной, так как она несовместима ссужденйем B-* А —ъ этом случае появляется коллизия парадокса А -* А. Из полученного противоречия следует справедливость (іі). Конец доказательства.
