Логика естественных рассуждений - Кулик Б.А.
ISBN 5-7940-0080-5
Скачать (прямая ссылка):
Разумеется, "перевод" нормального предложения в форму суждения часто требует от "переводчика" определенной языковой культуры, позволяющей различать или, наоборот, отождествлять разнообразные "субъекты" и "предикаты". Этой культурой, к сожалению (или к счастью?), пока что не овладели в полной мере современные компьютеры. Но мы будем исходить из той аксиомы, что языковая культура является необходимой составной частью общей культуры человека. А без наличия таковой теряется или сильно затрудняется возможность изучать или применять логику.
В естественной речи часто встречаются ситуации, когда для адекватного понимания предложений или фрагментов текста требуются знания, которые содержатся "вне текста" или "в контексте". В лингвистике такие "контекстные" или "внетекстовые" знания иногда относят к пресуппозициям (или презумпциям). Автоматизировать полное и точное восстановление презумпций с помощью соответствующего формального преобразования наличного текста практически невозможно. Для этого необходимо помимо текста заложить в компьютер точную модель представленной в тексте ситуации, но получить такую модель на практике можно далеко не всегда. В то же время в сознании людей, когда речь идет о знакомых явлениях или событиях, восстановление недостающих оттенков смысла "голого" текста является делом привычным, хотя и не всегда правильным. Знание формальной логической модели рассуждений позволяет при решении этой задачи избавиться от многих "подводных камней".
2
Основные понятия алгебры множеств
Для алгебры множеств практически невозможно установить точную дату открытия и назвать имя первооткрывателя. Алгебра множеств постепенно развивалась на фоне многочисленных попыток найти строгое математическое основание для Аристотелевой логики. Некоторые предпосылки этой алгебры содержатся в трудах Лейбница. В разработку ее основ внесли значительный вклад многие известные логики и математики (Ж. Д. Жергонн, А. де Морган, Дж. Венн и др.). Но особая заслуга в ее развитии и распространении принадлежит Леонарду Эйлеру.
В 1736 г. в "Письмах к германской принцессе о различных физических и философских материях" Л. Эйлер в популярной форме изложил свое понимание Аристотелевой силлогистики. При этом он использовал наглядные схемы, которые впоследствии получили название "круги Эйлера". В дальнейшем круги Эйлера стали использовать не только в учебных курсах по логике, но и при изложении многих основополагающих разделов современной математики, в которых используется алгебра множеств (например, см. [Колмогоров и Фомин, 1972]). Мы тоже воспользуемся этими наглядными отображениями, позволяющими достаточно быстро овладеть абстрактными понятиями алгебры множеств.
Идеи Эйлера были развиты в работах французского астронома и математика Ж. Д. Жергонна. Жергонну удалось в опубликованной в 1817 г. работе "Основы рациональной диалектики" представить все классы суждений, выделенные Аристотелем, с помощью соотношений между множествами. Эти соотношения получили в математике и логике название "Жергонновых отношений". Рассмотрим их более подробно.
В основе силлогистики лежат простые суждения, представленные четырьмя типами: А — общеутвердительное (все X есть Y)1E- общеотрицательное (все X не есть У); I — частноутвердительное (некоторые X есть Y)]O- частноотрицательное (некоторые Л'не есть У). Отметим, что в трудах Аристотеля смысл суждений отличается от общепринятого, который вместе с обозначениями утвердился в логике после работ известного схоласта Петра Испанского. Сам Аристотель не употреблял в суж-
2. Основные понятия алгебры множеств
13
дениях двусмысленную связку "есть" и формулировал суждения следующим образом.
A: Y присуще всем X.
E: Y не присуще всем Л'.
I: Yприсуще некоторым X.
О: Уне присуще некоторым А".
Если для "терминов" X и Y представить их "объемы" в виде кругов Эйлера, то число всевозможных соотношений между ними окажется равным пяти (рис. 1).
G1 G2 (? G4 G^
Рис. 1
Каждый тип Жергонновых отношений (Gj-Gs) имеет собственное название:
Gi — совпадение или равнозначность; G2 — левостороннее включение; Gi — частное совпадение; G/i — правостороннее включение; G5 — несовместимость.
Жергонн показал, что каждый тип аристотелевского суждения можно выразить как некоторое множество возможных вариантов отношений G1-g5, в частности:
A: {G1, G2};
Е: {G5};
I: {GuG21CG,}; О: {G:i, CG5}.
Например, суждение типа I означает, что некоторая непустая часть множества или класса X содержится в Y. Посмотрев на рис. 1, нетрудно убедиться, что этому условию удовлетворяют все типы Жергонновых отношений, кроме G5. Жергонновы отношения часто использовались для строгого обоснования нетолько правил выводадля простого категорического силлогизма, в котором в качестве посылок используется два суждения, но и для более сложных умозаключений, когда в качестве посылок допускается большее число суждений. Вершиной анализа такого рода можно считать Работы английского логика и философа Дж. Венна (1834-1923).
