Логика естественных рассуждений - Кулик Б.А.
ISBN 5-7940-0080-5
Скачать (прямая ссылка):
Что касается QC-структур, у которых имеются допустимые коллизии парадокса, то для них теорема Б.6 не верна. Но для них можно выявить более слабые ограничения в виде следующих соотношений.
Теорема Б.7. Если в корректной QC-структуре Г существует литерал L, такой что Iv_n Inv(Post(L)) = М, где 0,то для любого W<^ M соотношение W — W является допустимой коллизией парадокса в Г. Доказательство. Присутствие одного и того же литерала W, в L и в Inv(Post.(L)) означает, что в L4 содержится литерал И7, а в PoSt(L) — литерал W и оба они содержатся по крайней мере в одной из цепей,
112_Приложение Б. Частично упорядоченные множества_
проходящих через L. Следовательно, в Г содержится коллизия парадокса W —* W. Из корректности Г следует, что данная коллизия является допустимой. Конец доказательства.
Теорема Б.8. Если в корректной QC-структуре Г существует литерал L, такой что Lh П Inv(Pred(L)) = М, где M ^ 0, то для любого IVe M соотношение W-* W является допустимой коллизией парадокса в Г. Доказательство Присутствие литерала ICbM означает, что в Pred(L) содержится литерал W, который по крайней мере в одной из цепей, проходящих через литерал L, предшествует литералу W, содержащемуся в ?Л. Ясно, что по условиям теоремы в Г содержится допустимая коллизия парадокса W~> W. Конец доказательства.
Теорема Б.9. Если в корректной QC-структуре Г содержится допустимая коллизия парадокса L—* Lu Pred(L) ^ 0, то для любого базового литерала W ^ Pred(L) коллизия парадокса U7—* W является допустимой в Г. Доказательство. Из W ? Pred(L) следует W —* L, а из L —»• L следует W —> L. Из W—» L но правилу контрапозиции следует L -* W, а из W -* L и L —* Wno правилу транзитивности следует W —* W. Если же это суждение недопустимо в Г, то Г является некорректной QC-структурой, что противоречит условию теоремы. Конец доказательства.
Анализ коллизий можно проводить не только для отдельных QC-структур, но а для исследования совместимости произвольного семейства QC-структур с необязательно совпадающими множествами базовых литералов. При этом некорректная QC'-структура может быть получена в результате соединения вполне корректных QC-структур. Эту особенность QC-структур можно использовать, в частности, для анализа логической совместимости различных источников информации иди систем знаний.
5. Анализ неполноты ОС-структур
Под неполной в широком смысле мы будем понимать QC-структуру Г, для которой существует по крайней мере одно суждение, не содержащееся в ее посылках и следствиях, но в то же время совместимое с ней, т. е. не инициирующее при соединении с Г недопустимых коллизий. Суждения, которые для данной QC-структуры Г характеризуются этим свойством, мы назовем корректными гипотезами Г. Если при этом ограничить состав гипотез только не равными О и 1 литералами, содержащимися в Г (т. е. базовыми литералами), то QC-структура будет неполной в узком смысле. Именно этот вид неполноты мы будем рассматривать в данном разделе.
Если при формировании гипотез не ограничиваться только базовыми литералами, а добавлять в исходную формальную QC-структуру но-
Приложение Б. Частично упорядоченные множества
113
вые, не равные 0 и 1 литералы, то неполными в широком смысле будут любые формальные QC-структуры. Для них любая корректная сама по себе гипотеза, содержащая не более одного базового литерала, является корректной применительно к этой структуре. Примерами таких корректных гипотез для произвольной формальной QC-структуры являются суждения U7I —* L, L —> W2 и W] —* W2, где литералы W] и W2 не входят в состав базовых литералов.
Пусть Г — корректная QC-структура с множеством В базовых литералов, которые являются вершинами соответствующего графа. На множестве В построим полный неориентированный граф Kr без петель. Назовем множество дуг графа Кг\Гсг, полученного исключением из Kr всех дуг, содержащихся в Гсг, невыводимыми суждениями для Г.
Определение Б.10. QC-структура Г является полной (в узком смысле), если добавление в нее любого невыводимого суждения приводит к недопустимой коллизии. Если данное условие не выполняется, то QC-структура Г является неполной.
Неполноту QC-структур можно показать на простейшем примере. Пусть Г содержит одно суждение типа A-*(В,С). Тогда с помощью перебора всех возможных элементарных невыводимых суждений на множестве литералов {А, В, С, А, В, С) мы сможем убедиться, что взятые по отдельности суждения B-* С, С—* BnB —"Си их контрапозиции (С —* В, В —> С и С -* В) при добавлении в Г не инициируют никаких коллизий.
Заодно на этом же примере можно убедиться, что данные корректные гипотезы применимы не для всех интерпретаций, но для каждой из них можно такую интерпретацию построить. Пусть примером Г является у-множество класса Div, в котором Л = 2, В = 6, C = 10и1=30. Тогда окажется, что гипотезы В —* С и С В в Г оказываются ложными, а гипотеза В —* С — истинной. В то же время для формального представления Г можно построить интерпретацию (например, А — 2, В = 6, С = 30, 1 =210), в которой гипотеза В —* С является корректной, а остальные две — некорректны.
