Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Логика -> Кулик Б.А. -> "Логика естественных рассуждений" -> 48

Логика естественных рассуждений - Кулик Б.А.

Кулик Б.А. Логика естественных рассуждений. Под редакцией Дюка В. А. — СПб.: Невский Диалект, 2001. — 128 c.
ISBN 5-7940-0080-5
Скачать (прямая ссылка): logika-estestvennih-rassujdeniy.djvu
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 56 >> Следующая


Некорректные формальные структуры можно преобразовать в корректные за счет элиминации коллизий. Элиминация коллизии цикла производится за счет слияния всех литералов, входящих в цикл, в один литерал с новьш именем. Элиминация недопустимой коллизии парадокса типа X-* X производится за счет удаления литералов X и X из структуры вместе с инцидентными им связями. При этом подразумеваются равенства X = OhX= 1. Последнее означает, что наибольший элемент QC-структуры приобретает все свойства литерала X.

Если QC-структуре соответствует некоторое правдоподобное рассуждение, то устранение коллизий можно осуществлять не только за счет формальной элиминации коллизий, но и за счет корректировки исходных посылок. В частности, такая содержательная корректировка имеет смысл при анализе естественных рассуждений.

При моделировании правдоподобных рассуждений с помощью QC-структур, можно выделить еще одну коллизию, которую мы назовем коллизией неадекватности. Эта коллизия распознается при сравнении следствий или корректных гипотез формальной системы с соответствующей содержательной системой. Может оказаться, что посылки на

110

Приложение Б. Частично упорядоченные множества

первый взгляд соответствуют содержательному аналогу и при этом формальная структура оказывается вполне корректной. Но возможна ситуация, когда некоторые формальные следствия не соответствуют некоторым установленным закономерностям моделируемой системы. Рассматриваемая коллизия похожа на встречающийся в истории науки прецедент, когда некоторые следствия естественнонаучной теории вступают в противоречие с новыми экспериментальными данными.

Рассмотрим некоторые свойства корректных QC-структур применительно к главным фильтрам и идеалам. Сначала введем операцию инверсии (Inv(S)) для произвольного множества S литералов, при которой каждому литералу Іг є S ставится в соответствие литерал Li ^ Inv(S). По определению очевидно, что Inv(Inv(S)) = 5.

Первое предложение (теорема Б.З) является аналитическим выражением свойства симметрии в QC-структурах, обусловленной законом контрапозиции.

Теорема Б.З. В диаграмме Хассе QC-структуры Г, не содержащей циклов, для любого литерала L справедливы следующие равенства:

(i) Pred(L) = Inv(Post(L)); (ii) Post(L) = Inv(Pred(L)).

Доказательство. В общем случае каждый литерал в ГИ является точкой пересечения некоторого множества цепей. Рассмотрим отдельную цепь, содержащую L.

Л- ... - Х- У- ... -I- ... -Z- V- ... — В. Ее антицепью в Г/у является цепь

А *-...*-X F—... — Z- ... — Z- V — ... <— В.

В первой цепи множество предшественников L полностью совпадает с множеством литералов, каждый из которых является альтернативой соответствующего литерала, содержащегося среди потомков литерала L в антицепи. Поскольку литералы LnL являются связующими звеньями всех полуцепей, проходящих через них, то отсюда следует справедливость равенств (і) и (ii). Сомнение может вызвать случай, когда в Гн содержатся коллизии парадокса, поскольку контрапозицией суждения типа А —* А является то же самое суждение. Рассмотрим пример такой цепи

... — Z- Л—Л—В — С и ее антицепь

... - Z - А - Л — В — С.

Ясно, что наличие коллизии парадокса в цепи не приводит к разрыву соответствующей антицепи и при этом суждение А—* А остается в ее составе неизменным. Следовательно, и в этом случае подтверждается справедливость равенств (і) и (ii). Конец доказательства.

Приложение Б. Частично упорядоченные множества

111

Теорема Б.4. В диаграмме Хассе Г" корректной QC-структуры Г для любого литерала L выполняется равенство InV(L4) — (І)Л. Доказательство. Представим Inv(Lv) как Inv({L}U Pred(L)). Используя теорему Б.З, получим Inv(L4) = Inv({L}VPred(L)) = (l\UPost(L) = (L)A. Конец доказательства.

Следующее утверждение (теорема Б.5) выполняется не только в QC-структурах, но и в обычных у-множествах. Мы его здесь приводим, чтобы сопоставить со следующим утверждением (теорема Б.6), которое справедливо только для корректных ?-структур.

Теорема Б. 5. В корректной QC-структуре Г для любого литерала L в ТИ выполняются следующие равенства:

(i) Lv П P0St(L) = 0; (ii) Iа П Pred(L) = 0.

Доказательство. Нарушение равенства означало бы существование цикла в QC-структуре. Например, если не соблюдается равенство Lv П Post(L) = 0, значит, среди цепей, входящих в L, существует по крайней мере одна полуцепь с литералом W (здесь возможно равенство W = L), таким что среди цепей, исходящих из L, имеется полуцепь с тем же самым литералом. Поскольку L является соединительным звеном таких полуцепей, то ясно, что в объединенной цепи в этом случае появляется коллизия цикла. Конец доказательства.

Теорема Б.6. В диаграмме Хассе Ен корректной Е-структуры E для любого литерала L справедливы следующие равенства:

(i) Iv П Inv(Post(L)) = 0; (іі) 1Л П Inv(Pred(L)) = 0. Доказательство. Предположим, что равенство (і) не соблюдается. Это означает, что по крайней мере в одной из полуцепей, входящих в L, существует такой литерал W (здесь возможно W = L), что его альтернатива содержится в одной из полуцепей, исходящих из L. Следовательно, существует по крайней мере одна цепь, проходящая через L, в которой литерал Wсоединен с литералом W. Следовательно, в E имеется коллизия парадокса, что противоречит предположению о ее корректности. Равенство (іі) доказывается аналогично. Конец доказательства.
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 56 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed