Логика естественных рассуждений - Кулик Б.А.
ISBN 5-7940-0080-5
Скачать (прямая ссылка):
В QC-структурах так же, как и в обычных у-множествах, можно выделить верхние и нижние конусы [Скорняков, 1982], которые по своим свойствам не отличаются от соответствующих подструктур в традиционных у-множествах. В то же время определения для главных фильтров и главных идеалов в QC-структурах имеют отличия по сравнению с соответствующими понятиями у-множеств.
Приложение Б. Частично упорядоченные множества
105
Сначала определим для отдельного литерала L в QC-структуре Г множество Pred(L) предшественников L, таких что X є Pred(L), если и только если связь X -* L содержится в Гс7. Аналогичным образом определяется множество Post(L) потомков L, таких что X є Post(L), если и только если связь L —+ X содержится в Гсг.
Определение Б.6. Главным фильтром ІЛ (главным идеалом Lv) литерала L в (ЗС-структуре Г является множество {L) U PoSt(L) ({L) U Pred(L)) литералов.
Свойства и применение анализа главных фильтров и идеалов мы рассмотрим позднее. Отметим лишь основное их отличие от соответствующих понятий в решетках. Здесь они не определяются через операции "умножения" и "сложения", поскольку, как уже отмечалось ранее, в QC-структурах эти операции в общем случае не являются полными. Тем не менее в главных фильтрах (идеалах) QC-структур достаточно много сходства с главными фильтрами (идеалами) решеток, поэтому и предлагается оставить это привычное название.
Далее мы будем различать формальные QC-структуры и их интерпретации. В формальной QC-структуре все литералы представлены определенными символами. Ее интерпретацией является изоморфная ей по отношению частичного порядка QC-структура, в которой всем литералам соответствуют определенные значения этих символов в виде заданных своими элементами множеств, чисел, векторов, содержащих в качестве компонент числа или множества, и т. д. Принципиальная разница между ними заключается в следующем. При исследовании совместимости и неполноты QC-структур (об этом речь пойдет в следующих разделах) может оказаться, что некоторые свойства формальной системы не совпадают со свойствами некоторой ее интерпретации. Но при этом существует и может быть построена другая изоморфная интерпретация, в которой данные свойства формальной QC-структуры подтверждаются полностью. С другой стороны, обнаружение такого несоответствия для некоторой фиксированной и не подлежащей изменению интерпретации можно принять как постановку задачи уточнения и корректировки формального представления этой системы.
Формальные QC-структуры можно рассматривать как своеобразные системы уравнений или неравенств, в которых литералы играют роль переменных. Решением этих систем являются те или иные подходящие интерпретации. Кроме того, к формальным QC-структурам мы отнесем и такие, у которых некоторые (но не все) литералы представлены конкретными значениями, а остальные литералы являются переменными с неизвестным значением, оценку которого надо найти в процессе анализа системы.
106
Приложение Б. Частично упорядоченные множества
4. Коллизии в QC-структурах
Процесс формализация конкретных содержательных систем рассуждений далеко не во всех случаях является простым и однозначным. В результате формализации наряду с упрощением смысла в формальном представлении содержательной системы могут появиться ситуации, которые указывают на внутреннюю несовместимость исходных посылок. Такие ситуации предложено назвать коллизиями.
Определение Б.7. Коллизиями QC-структуры Г называются следующие ситуации, появляющиеся при построении СГ-замыкания:
коллизия цикла: появление в ГС7 по крайней мере одного цикла; _
коллизия парадокса: появление в Га суждений типа Хг — Xj (или Xj -» Xi).
Коллизия цикла свидетельствует о том, что нарушается свойство антисимметричности отношения частичного порядка, если структура задана в предположении, что все разные литералы представляют разные элементы соответствующего у-множества.
Коллизия парадокса нарушает предположение о том, что литералы, не равные 0 или 1, представляют элементы у-множества, не совпадающие соответственно с наименьшим или наибольшим элементом. Для ^-структур, в которых свойство (iv) квазидополнения является абсолютным, эта коллизия является безусловной. В частности, для структур класса Set соотношение X1Є X1 указывает на то, что литерал Xj представляет только пустое множество (0), а литерал Xi — только универсум. Для QC-структур более общего вида возможны случаи, когда из отношения Xi — Xi необязательно следует, что X1= 0 и X, = і (см. пример QC-структуры класса Div в разделе 2 Приложения Б). Рассмотрим сначала пример коллизии цикла.
Пример Б.2. Дана QC-структура класса Div, где неизвестные числа К, L1М, N, каждое из которых не равно 0 или 1, связаны следующими отношениями (напомним, что в Div квазидополнение элемента Хвычисляет-ся по формуле X= 1/Х): L-K1L —М; N — К; M — К. Необходимо определить, является ли эта QC-структура корректно заданной.
Нетрудно убедиться, что на определенном этапе построения СГ-замыкания этой структуры появляются два альтернативных цикла К — L — M — К и К — M ~* L — К. Отсюда следует, что каждая тройка {К, L, M) и {К, L, M] разных литералов представляет одно число, а в структуре имеется коллизия цикла.
