Логика естественных рассуждений - Кулик Б.А.
ISBN 5-7940-0080-5
Скачать (прямая ссылка):
Можно было бы не уделять особого внимания этим терминологическим нюансам, если бы не одно обстоятельство. Оказывается, что многие парадоксы и несообразности современной логики и дискретной математики являются прямым следствием или подражанием этой двусмысленности. Например, в современных математических рассуждениях часто используется понятие "самоприменимость", которое лежит в основе парадокса Рассела. В формулировке этого парадокса под самоприменимостью подразумевается существование множеств, которые являются элементами самих себя. Такое утверждение сразу же приводит к парадоксу. Если мы рассмотрим множество всех "несамоприменимых" множеств,
86_Приложение А. С чем идет современная логика в XXI век?_
і
то окажется, что оно является одновременно "самоприменимым" и "не-самоприменимым". От противоречия легко избавиться, если отказаться от утверждения, что множество (но не его имя, обозначение или определение) может быть элементом какого-то множества. И в соответствии с этим выражение "множество есть элемент множества" можно рассматривать как неудачную метафору для одного (и только одного!) из сформулированных выше вариантов объяснения.
Нашлись горячие головы, которые из противоречивости парадокса Рассела пришли к выводу о необходимости запрета любых "самоприменимых" конструкций. Такое же мнение в свое время высказал и сам Рассел. Но оказывается, в математике вполне возможны и даже необходимы "самоприменимости" в другом смысле, которые не влекут "неразрешимых" парадоксов. Элементарным примером является "самоприменимость" отношения включения множеств: в аксиомах алгебры множеств предусматривается, что любое множество включено в самого себя. Но в этом случае множество содержится в себе не как элемент, а как множество (точнее, как "нестрогое подмножество"). При этом никакого парадокса не возникает, так как "несамоприменимых" в этом смысле множеств просто не существует и для "самоприменимости" нет альтернативы.
Другим примером "самоприменимости" являются структуры списков, часто используемые в современном программировании и в системах искусственного интеллекта. Грубо говоря, списки — это некоторые структуры, связанные друг с другом системой ссылок. С помощью этих ссылок можно "путешествовать", переходя от одной структуры к другой. Для списков вполне допустима (а во многих системах искусственного интеллекта даже необходима) ситуация, когда в системе ссылок одного списка встречается ссылка на тот же самый список или ссылка из списка нижнего уровня на головной список. Достаточно знать о существовании такой необычной "самоприменимой" ссылки, чтобы не хвататься за голову в ситуации, когда программа обработки списков при определенных условиях (порой из-за небрежности программиста) входит в бесконечный цикл.
Можно отнести к категории "самоприменимых" и некоторые рекурсивные функции и процедуры. Например, известный из школьной математики факториал
я! = 1-2---(и-2)-(и-1)-и
можно определить как рекурсивную функцию F с помощью двух равенств:
F(I)=I; Fin + I) = (и+ l)F(n).
Такое определение не совсем привычно для человека, не сведущего в математике, но является вполне корректным и во многих случаях
_Приложение А'. С чем идет современная логика в XXI век? 87
даже полезным не только для теории, но и для практики. Необычность его заключается в том, что одна и та же функция F используется в левой и в правой части второго равенства. Но "самоприменимость" здесь можно рассматривать как метафору, поскольку в разных частях равенства эта функция используется с разными значениями аргумента. К тому же в записи рекурсивной функции равенство (=) означает не отношение, а известную программистам операцию присваивания. Примером такого "равенства" является кажущаяся абсурдной запись X-X + 1, в которой подразумевается, что значение X в результате операции присваивания увеличивается на единицу.
Однако эти и многие другие примеры "самоприменимости" не имеют ничего общего с "самоприменимостью" по Расселу, в которой "множество" без всякого пояснения становится "элементом". "Множество" как целое — это первичное свойство некоторых "элементов". Мы можем даже не знать других свойств выделенного множества. Но раз понятие "множество" используется как свойство, то отождествление его с сущностями ("элементами"), характеризующимися этим свойством, сразу же приводит к двусмысленности.
К сожалению, такая терминологическая чехарда в современных теоретических рассуждениях в рамках основ математики и математической логики встречается весьма часто. Еще в начале нашего века А. Пуанкаре отметил, что в чрезмерной формализации математики, которой увлеклись многие приверженцы научной школы Д. Гильберта, часто содержатся "скрытые" определения и двусмысленности [Пуанкаре, 1983]. Тогда они лишь намечались, и можно только восхищаться прозорливостью Пуанкаре. Но сейчас они проявились в полной мере и свидетельствуют о "скрытой диверсии" в логике и в основаниях математики. Вместе с тем, если такая "диверсия" допускается для основополагающих понятий математики, то она оказывается объектом для подражания применительно ко многим частным логическим и математическим понятиям. Подобные "диверсии" (или мемы) размножаются в разных областях знаний если не в геометрической, то по крайней мере в арифметической прогрессии.
