Логика естественных рассуждений - Кулик Б.А.
ISBN 5-7940-0080-5
Скачать (прямая ссылка):
Нарисуем граф рассуждения (рис. 25) и, используя правила вывода, изобразим с помощью стрелок все возможные следствия (рис. 26).
А1= В.
M
M
P
Рис. 25
Ж
M
Р*—Ж
Рис. 26
Для более полного понимания дальнейшего отобразим результат на-. ших выкладок в виде СГ-замыкания:
52
6. Экзистенциальные суждения
M-* Р; M-(); Р — (Ж,М);
P-о;
Ж-о; Ж — (P).
Ясно, что правила вывода для Е-структур не дали нам желаемого результата, — заключение, которое соответствует суждению "Некоторые из тех, кто дышит жабрами, не есть млекопитающие", в следствиях отсутствует. Почему же?
Во-первых, его нельзя получить, так как для его формального выражения требуется новый литерал (например, И7), который в данной системе не предусмотрен. Во-вторых, частные заключения Аристотелевой силлогистики являются не следствиями, а, скорее, частными случаями рассуждения. С точки зрения современной логики, если нечто В является следствием А, то при "объемном" представлении этой ситуации необходимо, чтобы "объем" А был вложен в "объем" В. Правила вывода в Е-структурах не нарушают этого соотношения, но для частных заключений Аристотелевой силлогистики это соотношение нарушается. Но это не означает, что частные суждения, которые в Аристотелевой силлогистике являются заключениями силлогизма, нельзя получить вообще. Для этого необходимы другие методы.
Предположим, что нам задана некоторая Е-структура без коллизий, а СГ-замыкание этой структуры представлено в виде набора записей, в которых каждому базовому литералу сопоставлено некоторое множество других базовых литералов. Если мы выпишем все базовые литералы, входящие в такую строку как слева, так и справа от стрелки, то получим некоторое множество базовых литералов. Сформированные таким способом множества называются главными фильтрами Е-структуры. (Этот термин используется в теории структур.)
Ясно, что в каждой ?-структуре общее число главных фильтров равно числу всех ее базовых литералов. Для обозначения главных фильтров используется знак А. Чтобы отличать друг от друга разные главные фильтры, будем вместе с этим знаком записывать в скобках базовый литерал, который является порождающим для данного главного фильтра и в соответствующей записи СТ-замыкания стоит слева от стрелки. Например, для записи P —> (Ж, M) в СГ-замыкании соответствующий главный фильтр выглядит как равенство
A(P) = {Р, Ж, M).
6. Экзистенциальные суждения
53
А для записи P —- ( ) соответствующий главный фильтр будет записан как A(P) = (P}.
Для распознавания корректных экзистенциальных суждений интерес представляют те главные фильтры, которые содержат не менее двух базовых литералов. В примере 11 можно выделить из шести главных фильтров только три:
A(M) = {М,P}; А(Р) = {Р,Ж,М}; А(Ж) = {Ж,Р}.
Все остальные главные фильтры данного примера содержат по одному литералу. Теперь, когда мы научились формировать главные фильтры, для формирования экзистенциальных суждений достаточно знать определяющее свойство главных фильтров. Оно выражается с помощью следующего утверждения:
Любая совокупность множеств, представленных базовыми литералами какого-либо главного фильтра, имеет непустое пересечение.
Отсюда ясно, что из приведенных выше главных фильтров можно сформировать такие экзистенциальные суждения:
МПР*0; ЖПМ*0; РПЖПМ*0; Ж П Р> 0 ит.д.
Второе из этих соотношений соответствует заключению силлогизма из примера 11, но оказывается, это не единственное частное суждение, которое можно получить из приведенных посылок.
На основе указанного правила можно выводить все возможные экзистенциальные утверждения для любой Е-структуры. Но при этом надо иметь в виду, что оно применимо только для Е-структур, в которых отсутствует коллизия парадокса. Иначе может получиться такая двусмысленная ситуация, когда пара литералов включена в какой-то главный фильтр, и тогда пересечение соответствующих множеств должно быть непустым, но при этом одно из этих множеств в соответствии с коллизией парадокса необходимо является пустым множеством. А пересечение любого множества с пустым множеством также является пустым множеством.
При выводе экзистенциальных суждений удобнее пользоваться не всеми главными фильтрами, содержащими более одного термина, а максимальными главными фильтрами, т. е. главными фильтрами, которые не включены ни в какие другие главные фильтры. К максимальным главным фильтрам относятся главные фильтры, у которых в диаграмме Хас-се в порождающий литерал не входит ни одна стрелка. В СГ-замыкании
54
6. Экзистенциальные суждения
такие порождающие литералы легко определяются. Для этого надо из записей СГ-замыкания выбрать те, у которых справа от стрелки стоит пустое множество (например, запись M -* ( )). Тогда порождающим литералом для соответствующего максимального главного фильтра будет альтернативный термин. Для приведенной записи M —»¦ ( ) таким порождающим литералом будет М, и ему будет соответствовать максимальный главный фильтр A(Af) = {М, P}.
При анализе экзистенциальных суждений необходимо учесть, что формальное отсутствие коллизий в структуре не всегда означает, что такие коллизии невозможны в какой-либо конкретной модели. Если модель представлена и есть возможность непосредственно проверить совместимость признаков исследуемого объекта, то такую проверку необходимо выполнить. Рассмотрим пример.
