Логика естественных рассуждений - Кулик Б.А.
ISBN 5-7940-0080-5
Скачать (прямая ссылка):
ких других связей, кроме включенных в максимальные Но наша "экономия" на этом не заканчивается. Можно, оказывается,
пути, называется диаграммой Хассе Я-структуры и является любую f-структуру представить числом связей в два раза меньшим, чем
ее инвариантом. числ0 связей в диаграмме Хассе. Обратите внимание, что в диаграмме
Термин "диаграмма Хассе" взят из теории решеток (есть такая тео- Хассе все связи "Х0ДЯТ паРами": суждение и его контрапозиция. А поче-рия в универсальной алгебре). Хотя /--структуры по своим свойствам не му бы нам каЖДуЮ ТаКуЮ ПЭРУ НЄ пРел-ставить всего 0ДНИМ сУжДени^' во всем соответствуют алгебраическим решеткам (нам их особенности Ведь все РавН0 изъятую паРу мы П0ЛУЧИМ> применив к оставшемуся суж-знать необязательно), но значение этого термина в ^-структурах полно- дению пРавило контрапозиции.
стью соответствует значению этого термина в теории решеток Этот инвариант, составленный из половины суждении Диаграммы
Таким образом, мы можем любую цельную /--структуру представить Хассе' наЗВаН минимальным множеством посылок /--структуры. Почему не только с помощью СГ-замыкания, но и с помощью диаграммы Хассе минимальным? А потому что исходная ^-структура может содержать по-При этом структура становится более наглядной. Попробуем оценить' СЫЛКИ' КОТОрЫе годятся из остальных посылок. Если эту ?-структуРУ сколько лишних связей мы используем, если изображаем ее в виде CT- Д°полнить всеми следствиями, получаемыми с помощью правила С, апо-замыкания. Для простоты представим, что наша /--структура содержит Т0М "!«образовать полученную систему в диаграмму Хассе, то мы, срав-два максимальных пути и каждый из этих путей содержит N базовых Нивая и™ые посылки с суждениями диаграммы Хассе, сможем найти литералов. Тогда общее число связей в диаграмме Хассе этой структуры "лишние" пос>™ среди исходных. Попробуйте самостоятельно найти равно 2(N - 1). В СГ-замыкании той же самой структуры будет содер- "лишние^ посылки в следующей f-структуре, заданной суждениями: жаться уже N(N - 1) связей. Определим, сколько связей будет "сэко- A-^D; C~>D; C~*A; С~+В.
номлено" при использовании диаграммы Хассе. Обозначим число таких , ' Г плмпЛЯ.
"сэкономленных" связей буквой КТогда Таким обР™, использование инвариантов в ^-структурах позволя
ет, во-первых, определить структурные сходства и различия в них, во-гто-K = N(N- 1) - 2(JV- I) = W2-3/V +2. рых, оценить независимость исходных посылок и, в-третьих, существенно
При увеличении числа ЛГчисло "сэкономленных" связей К возрастает уменьшить объем памяти для их представления на электронном носителе, в квадратичной зависимости, т. е. эта зависимость выражается с помощью полинома от некоторой переменной (в нашем случае этой переменной является число N) с максимальной степенью 2. Так, при N = 4 число
6
Экзистенциальные суждения
Ранее мы рассматривали примеры с суждениями, в которых для субъекта явно использовался термин "все" или его присутствие подразумевалось. Даже если в качестве субъекта использовался единичный объект (например, "Онегин" или "Сократ"), то все равно в суждении он рассматривался как целое неразделимое множество, содержащее единственный элемент и полностью включенное в множества, играющие в этом суждении роль предикатов. Теперь мы рассмотрим ситуации, когда в суждениях к субъекту применен термин "некоторые".
Если субъект суждения предваряется термином "некоторые", то предполагается, что с предикатом может быть связана какая-то часть множества, играющего роль субъекта. При этом "объем" данной части может быть неопределенным. Возможно, что она является пустым множеством, но тогда в системе анализа рассуждений необходимо предусмотреть распознавание такой ситуации.
В логике термины "все" и "некоторые" играют особую роль. Они называются кванторами, и для них даже введены специальные общепринятые знаки: V (все) и 3 (некоторые). В нашей системе отдельные символы для кванторов не используются. На литералы обычных суждений неявно "навешен" квантор "все", а для квантора "некоторые" предлагается использовать специальный вид суждений — экзистенциальные суждения (от слова exist — существовать). По смыслу экзистенциальное суждение — это суждение о существовании множества с определенными свойствами для случаев, когда соответствующий термин с таким сочетанием свойств (предикатов) в системе отсутствует.
В Аристотелевой силлогистике используется всего два типа суждений, которые можно отнести к экзистенциальным. Они называются частными суждениями. Это частноутвердительное суждение "Некоторые А есть В" и частноотрицателъное суждение "Некоторые А не есть В". В таких суждениях смысловой акцент переносится на первый литерал (А), хотя на самом деле очевидно, что речь в них идет о том, что пересечение множеств, обозначенных литералами А и В (в первом суждении) или А и В (во втором суждении), не является пустым множеством. Поэтому суждение "Некоторые А есть В" равносильно суждению "Некоторые В
6. Экзистенциальные суждения
