Логика естественных рассуждений - Кулик Б.А.
ISBN 5-7940-0080-5
Скачать (прямая ссылка):
О коллизиях речь впереди. А сейчас мы попробуем упростить проце-ДУРУ вывода. Это, кстати, требуется не только для того, чтобы облегчить Ручной" труд, но и для того, чтобы лучше понять математические свойства ^-структур.
28 3. ?-структуры: определение и основные свойства
Первое, что мы сделаем, — это заменим в математической форме суждения все знаки S на стрелки При этом будем считать, что стрелки могут быть любой длины и необязательно прямыми. Тем самым мы формально перейдем к отображению суждений не в виде формул алгебры множеств, а в виде некоторых схем, которые в математике называются ориентированными графами. Далее возьмем чистый лист бумаги и выпишем на некотором расстоянии друг от друга все базовые литералы нашего рассуждения. При этом мы расположим литералы в двух строках: в верхней строке будут все "позитивные" литералы (С, S, Т, R), а в нижней — все "негативные" литералы (С, S, Т, R). Кроме того, альтернативные литералы (например, S и S) мы расположим строго на одной вертикали. Затем соединим некоторые литералы стрелками в соответствии с нашими посылками (3). Мы получили ориентированный граф, с помощью которого изображается исходная задача (рис. 7).
С S R-*-T С S<-R<-T
\ X
С S-^R T С S-^R->Т
Рис. 7 Рис. 8
Если теперь дополнительно провести стрелки, которые соответствуют следствиям, выведенным с помощью правила контрапозиции, то получим ориентированный граф, изображенный на рис. 8. Правила рисования контрапозиции для нашей схемы весьма просты и соответствуют некоторым принципам симметрии:
1) если исходная стрелка горизонтальная, то контрапозиция также изображается горизонтальной стрелкой, соединяющей дополнения литералов, содержащихся в посылке, но эта стрелка ориентирована уже в другой строке в обратную сторону. Это правило можно использовать и для изогнутых стрелок, если они соединяют литералы, находящиеся на одной строке;
2) если исходная стрелка наклонная, то в контрапозиции сохраняется вертикальное направление (вверх или вниз), но при этом меняется на противоположное горизонтальное направление. Например, контрапозицией стрелки, направленной вправо и вниз, будет стрелка, направленная влево и вниз.
Строго вертикальные стрелки в нашем примере не появятся. Забегая вперед, отметим: такие стрелки, если они появляются в процессе логического вывода, говорят о том, что в нашем рассуждении содержится коллизия парадокса.
Прежде чем двигаться дальше, познакомимся с некоторыми понятиями теории графов. Каждый ориентированный граф состоит из множе-
3. g-структуры: определение и основные свойства
29
ства вершин и набора дуг. В нашем случае вершины соответствуют литералам, а дуги графа изображаются стрелками. Существует еще одна разновидность графов, в которой некоторые связи не имеют ориентации, т. е. каждая такая связь безразлична к направлению. Такие связи называются неориентированными связями, или ребрами графа, а сам граф, содержащий дуги и ребра, называется смешанным графом. Граф, в котором все связи неориентированные, называется неориентированным графом (иногда просто графом). С неориентированными связями нам придется в дальнейшем встретиться при анализе коллизий, поэтому такие сведения нам не помешают.
Важным понятием теории графов является понятие пути. Если мы выберем произвольную вершину и начнем двигаться из нее в другую вершину вдоль связей в строгом соответствии с ориентацией стрелок, то, фиксируя вершины, где нам удалось побывать во время этого путешествия, мы получим последовательность, которая и называется путем в данном графе. Например, в графе на рис. 8 можно выделить максимальные пути, содержащие все возможные связи, полученные после применения правила С:
путь 1: С—S-» R-^f, путь 2: T-* R-* S-- С.
С понятием пути связано еще одно важное понятие. Выберем какую-либо произвольную вершину графа (например, R) и выделим те вершины, в которые можем проложить путь из R. Это будут вершины, достижимые из R. В нашем примере из вершины R достижимы вершины ShC
Если мы сопоставим понятие достижимости с правилом транзитивности в наших правилах вывода, то придем к следующему правилу, позволяющему получать на наших схемах новые следствия:
Если на схеме вершина Z достижима из вершины Y, то связь Y-* Z является либо исходной посылкой, либо следствием нашего рассуждения.
Посмотрев теперь на рис. 8, нетрудно убедиться, что все следствия С4-С9, выведенные нами ранее, также могут быть получены с помощью правила достижимости. Существует очень простой способ: если выписать в одной строчке каждый из путей, то транзитивные связи и соответственно следствия, полученные по правилу транзитивности, можно обнаружить, указав все возможные стрелки, направление которых совпадает с общим направлением пути (рис. 9). На рис. 9 для наглядности исходные посылки обозначены жирными стрелками. Все остальные стрелки обозначают следствия.
зо
3. ?Г-структуры: определение и основные свойства
C^—^S—-* R-*-Т
Рис 9
Получив сразу все возможные следствия из посылок, мы уже вносим некоторый элемент новизны в традиционные системы логического вывода. В Аристотелевой силлогистике возможно лишь единственное следствие из двух посылок. И в системе Л. Кэрролла [Кэрролл, 1973] единственное следствие получается даже в том случае, если сорит состоит из 9 посылок.
