Логика естественных рассуждений - Кулик Б.А.
ISBN 5-7940-0080-5
Скачать (прямая ссылка):
Определение 6. Суждением называется выраженное с помощью базовых литералов отношение включения, в левой части которого содержится единственное множество, представленное базовым литералом, а в правой части — пересечение множеств, представленных некоторыми базовыми литералами. Базовый литерал в левой части называется субъектом суждения, множество базовых литералов, представленных в правой части, — предикатами суждения.
Теперь можно дать определение ^-структуры.
Определение 7. Е-структурой называется совокупность литералов, соотношения между которыми определяются некоторым множеством суждений, называемых посылками.
Таким образом, пример, приведенный в начале раздела, можно математически выразить как ^-структуру с множеством базовых литералов і = {С, S, Т, R, С, 5, Т, R) и посылками (3).
В дальнейшем мы будем оперировать в основном литералами, а не множествами, но при этом не будем забывать и о том, что каждому рассуждению соответствует система множеств, в которой законы алгебры множеств соблюдаются неукоснительно. Это поможет нам не выходить в своем анализе за рамки строгой математики.
26
3. E-структуры: определение и основные свойства
Следующим шагом после уточнения терминологии при анализе f-структур является вывод следствий. Для любой системы логического вывода необходимы по крайней мере два компонента: 1) правила, с помощью которых в этой системе можно формировать исходные посылки, и 2) правила вывода, с помощью которых из произвольно заданных посылок можно получить следствия. Тем самым мы как бы представляем каждую конкретную ^-структуру аксиоматической системой, в которой посылки играют роль аксиом, а правила вывода определены в соответствии с законами этой системы.
Но получение всех возможных следствий не является завершающим этапом анализа. Нам еще предстоит освоить методы (или правила), которые позволяют определить, является ли наша система корректной и содержит ли она неопределенности. Методы решения этих и других задач мы рассмотрим в следующих разделах, а сейчас перейдем к правилам вывода. При определении этих правил мы будем использовать некоторые законы алгебры множеств, и в частности те законы, которые устанавливают системные свойства отношения включения (в предыдущем разделе им присвоены номера 12.1 и 12.2). Здесь мы полностью отходим от методики Л. Кэрролла. Сходство заключается лишь в том, что в своей методике Л. Кэрролл неявно также использовал некоторые законы алгебры множеств. Хотя термин "алгебра множеств" в те времена не употребляли, но уже тогда наряду с поиском математических обоснований логики формировались основные понятия и законы будущей алгебры множеств.
Пусть X, YuZ- некоторые базовые литералы ^-структуры.
Определение 8. Правилами вывода f-структуры являются следующие:
правило С (контрапозиции): из X Я У следует Y Я X; правило T(транзитивности): изХЕ У и Y^ Z следует X ^Z.
Теперь у нас достаточно инструментов для того, чтобы приступить крешению задачи, приведенной в начале этого раздела. Сначала мы применим ко всем посылкам правило С и получим следующие выражения, которые можно считать первыми следствиями наших посылок:
Cl: SsC;
С2: R<=T;
СЗ: AS= 5.
Необходимо учесть, что при выводе следствий мы используем иногда и закон двойного отрицания. Так, если из первой_посылки мы получили по правилу С следствие S <— С, то из равенства S = S получаем S <= С.
Можно теперь перевести _наши следствия с математического языка на обычный. Например, S S С переводится как "Все разумные люди не
3. Е-структуры: определение и основные свойства
27
являются малыми детьми". Но продолжим вывод следствий — у нас в запасе еще есть правило транзитивности. Из всех посылок и полученных следствий выберем пары суждений, у которых правая часть первого суждения полностью совпадает с левой частью другого суждения. Выпишем такие пары:
(C = S,S=R); (T=R1R = S); (S = R1R = T); (R = S, S = С).
Из них по правилу Г получим еще четыре следствия:
CA:
C=R;
С5:
T=S;
С6:
S=T;
Cl:
R=C.
Для этих новых суждений снова выберем подходящие для применения правила Гпары суждений из уже имеющихся и получим еще четыре суждения, но оказывается, что некоторые из них дублируют полученные ранее. В итоге имеем:
С8: C=T;
С9: T=C
Далее увидим, что попытка использовать любое правило вывода приведет к тому, что мы будем получать только те суждения, которые у нас уже есть. Процесс вывода на этом заканчивается.
Самыми интересными, по-видимому, являются следствия, полученные на последнем этапе процедуры вывода. Если переведем их на обычный язык, то получим следующие суждения: "Все малые дети не укрощают крокодилов" и "Все, кто укрощает крокодилов, не являются малыми детьми". Задача решена, но хотелось бы, чтобы инструменты для ее решения были бы попроще. Иначе процесс вывода оказывается не очень удобным для применения даже для системы с тремя простыми посылками.
Если имеется компьютер, эта проблема решается с помощью вычислительной программы. При работе с программой достаточно только ввести в компьютер исходные посылки, и мы сразу же получим результат в виде списка всех следствий, даже если в нашей задаче содержится не три, а значительно большее число посылок. Хотя в некоторых случаях мы можем получить не следствия, а сообщение: "Данная задача содержит коллизии!"
