Логика естественных рассуждений - Кулик Б.А.
ISBN 5-7940-0080-5
Скачать (прямая ссылка):
10.2. AVB = B.
10.3. AU B= U.
10.4. Л Л В = 0.
2. Основные понятия алгебры множеств
23
I Соотношение 10 можно выразить также с помощью операции разно-|сти множеств:
' 10.5. Из А е В следует А\В = 0.
Следующие законы в логике и алгебре множеств называются законами де Моргана:
UA-ATiB = AVB. 11.2. ATTb = A п В.
И наконец, приведем два закона, которые определяют системные свойства отношения включения. Их мы будем использовать в дальнейшем в правилах вывода.
12.1. ЕслиА^ВиВЯ: С, то A^ С (закон транзитивности включения).
12.2. Если A s В, то справедливо и В Я А (закон контрапозиции).
Смысл всех этих законов станет более понятным, если воспроизвести соотношения, выражающие их, с помощью диаграмм Эйлера (для лучшего усвоения материала читателю предлагается построить соответствующие диаграммы самостоятельно). Диаграммы Эйлера не считаются строгим доказательством этих законов, но часто помогают найти строгое доказательство. Однако использование диаграмм Эйлера становится весьма неэффективным при анализе систем из трех и более множеств. А именно такие системы приходится часто использовать при анализе даже сравнительно простых рассуждений. Для устранения этих трудностей предлагается другой математический аппарат, в котором совмещаются законы алгебры множеств с аналитическими возможностями теории графов. Необходимо упомянуть, что современная теория графов так же, как и алгебра множеств, тесно связана с именем Л. Эйлера — в основе современной теории графов лежат некоторые открытые им соотношения. Поэтому было предложено назвать новую математическую структуру, в которой сочетаются законы алгебры множеств и аналитические возможности теории графов, логической структурой Эйлера (или сокращенно E-структурой). Именно эта структура, о которой пойдет речь в следующем разделе, положена в основу математического моделирования и анализа естественных рассуждений.
В заключение этого раздела отметим, что определение Е-структур можно дать не с точки зрения алгебры множеств, а на основе другой математической системы — теории частично упорядоченных множеств. При этом получаются некоторые интересные обобщения. Но, хотя основы теории частично упорядочешшх множеств достаточно просты и легко-Доступны даже школьникам, мы в основном тексте не будем использовать этот подход к определению F-структур. В Приложении Б, предназначенном для читателей с хорошей математической подготовкой, этот "одход рассмотрен подробно.
1
з
Е-структуры: определение и основные свойства
Рассмотрим пример из книги Л. Кэрролла "История с узелками" [Кэрролл, 1973].
Пример 6. Пусть заданы следующие посылки: "Все малые дети неразумны".
"Все, кто укрощает крокодилов, заслуживают уважения". "Все неразумные люди не заслуживают уважения". Необходимо определить, что следует из этих посылок.
Система таких посылок называется в логике полисиллогизмом или соритом. Просто силлогизмом называется система, которая содержит всего лишь две посылки. Аристотелева силлогистика в основном предназначена лишь для решения силлогизмов. А чтобы с ее помощью получить следствие в полисиллогизме, надо последовательно подбирать подходящие пары суждений, получать из них следствия до тех пор, пока не будут исчерпаны все возможности. Но это довольно трудный путь, который не всегда приводит к единственному решению.
Математик и логик Чарльз Л. Доджсон (многим он известен как Льюис Кэрролл — автор знаменитых сказок про Алису) разработал оригинальную методику решения не только силлогизмов, но и полисиллогизмов. Наша методика существенно отличается от методики Кэрролла, но начальные этапы решения таких задач почти полностью совпадают. С самого начала надо определить основные термины, из которых состоит система посылок, ввести для них обозначения и выбрать подходящий универсум. Здесь ясно, что основными терминами данной задачи являются следующие: "малые дети" (С), "разумные люди" (S), "те, кто укрощает крокодилов" (Г) и "те, кто заслуживает уважения" (R). Очевидно, что эти основные термины представляют какие-то множества в универсуме "люди". Их отрицаниями соответ-ственно_будут следующие термины: "не малыедети" (С), "неразумные люди" (S), "те, кто не укрощает крокодилов" (T) и "те, кто не заслуживает уважения" (R).
3. Е-структуры: определение и основные свойства
25
Каждая посылка является суждением. Теперь мы можем записать условия задачи в обозначениях алгебры множеств:
Сс5; T^R; S = R. (3)
Сразу отметим, что в состав терминов системы мы обязательно включаем не только "позитивные" термины (С, S, T и R), но и их отрицания (для множеств — дополнения): C,S, T и R. Тем самым мы определили /•¦-структуру, которая состоит из системы множеств (0, U, С, S, Т, R, С, S, Т, R) и некоторых отношений включения между этими множествами, формулировка которых содержится в посылках (3). Ниже дадим более общее и более строгое определение ^-структур.
При формализации рассуждений мы предполагаем, что каждому термину соответствует какое-то множество или его дополнение, если термин используется с отрицанием. Отрицание термина также можно назвать термином, но иногда это приводит к двусмысленности. Поэтому в дальнейшем во многих случаях для обозначения термина или его отрицания мы будем использовать слово "литерал", как это принято в логике. Множество всех литералов исходного рассуждения мы назовем базовыми литералами. Дадим определение суждения.
