Электроразведка методом сопротивлений - Шевнин В.А.
ISBN 5-211-03303-5
Скачать (прямая ссылка):
сталкивались с подобными ситуациями. Для обеспечения научно-производственных и учебных полевых исследований возникла потребность в создании программного обеспечения для электрических наблюдений над анизотропным полупространством с наносами. В литературе известны решения этой задачи [9,15,25]. Зная об этих работах мы все же предприняли свою попытку решения задачи. При этом преследовались такие цели: 1) нужны алгоритмы для разных установок; 2) конечные расчетные формулы должны сохранить ясную структуру и четкий физический смысл; 3) сведение расчетных формул к виду интегралов Ханкеля может позволить применить для их расчета метод линейной фильтрации; 4) формулы должны быть удобны для решения обратной задачи.
Наиболее общей постановкой слоистой анизотропной задачи можно считать горизонтально-слоистую модель с произвольно-ориентированной анизотропией в каждом слое. Мы рассматриваем более частный случай: анизотропное основание с вертикальной ориентировкой анизотропии и изотропные наносы, как в работе [9].
Модель среды. Верхний слой имеет сопротивление p1 и мощность Н, анизотропное полупространство: продольное сопротивление рт и поперечное pN, коэффициент анизотропии A = ^pn/рт , среднее квадратичное сопротивлениерм = у/рм• рт и угол падения анизотропной толщи 90е. Ось X направлена вкрест простирания анизотропной толщи, а ось Y - по простиранию, ось Z - вертикально вниз. Начало координат в точке источника А, расположенном на поверхности земли. Приемные электроды (M или MN) тоже на поверхности. Необходимо найти значения потенциала U и напряженности поля E на поверхности земли.
Решение задачи. Общий ход решения следующий: исходное уравнение Лапласа, переход для решения в спектральную область, решение на уровне спектров, содержащее неопределенные коэффициенты, определение коэффициентов из граничных условий, обратное преобразование из спектральной в действительную область, преобразование формул к виду, удобному для численных расчетов.
Потенциал в верхнем слое U1 можно определить из решения уравнения Лапласа:
32U1 32U1 32U1 Зх2 + Зу2 3z2
=0, (8)
U1=U0 + U1 О)
где электрический потенциал в первом слое U1 можно представить в виде суммы нормального потенциала U0 первичного точечного источника для однородного полупространства с сопротивлением P1 и аномального потенциала U.
В нижнем анизотропном полупространстве потенциал подчиняется уравнению Лапласа вида:
а2 32U, + *ц, + BHi1-0 т
Эх2 Зу2 3z2
где о2 = р,/р„ = 1Д2.
Граничные условия имеют следующий вид:
U1 = U2, при z = H; (H)
J1Z = J2Z или "Ри Z = Hl (12)
P1 cz р, dz
^1=0. при z=0. (13)
Физические условия на источнике и бесконечности можно записать следующим образом:
1ImU1-»; HmU1=O; HmU2=O.
х-О х-« х-- (14)
у-0 у-» у-»
Z -» »
Переход в спектральную область. Для решения используем двойное преобразование Фурье:
U =-^-/ / U •cos (кх, x)-cos(kyl у) dx.dy,
—«• •*
U = // U • cos(kx, X)COs (ку, у) dkx, dky.
Запишем спектральные потенциалы (U1, U2) и их вертикальные производные в первой и второй среде в виде:
U1 (кх, ку) = A1 (кх, ку)еz"1'+B1 (кх, ку)е zkl + U?,
(15)
где к, = ^kx+ ку ; V2(kx,ky) = B2(kx,ky)ez\ где A2 = ^aArx)2+ А:,2; (16)
аиі(к»Л> . K1 A1 ezk' - к, B1 е "zkl - к, .. -zk'; (17) dz 27Ik1
302(*Л> , -k,B0exkt (18>
az ^ 2
Коэффициенты A1, B1 и B2 найдем из граничных условий для Z=O и z=H. Для Z=O получаем, что A1=B,. Обозначив Zr1M^=Y получаем аналог коэффициента отражения
ЩК K)=IfLfI Г YPf+Pi
и с его помощью выразим A1:
A1 (kx, ку) = — ——
1 Кв-2к,н
Таким образом:
77- -2k, H
Ке (19)
U1 (Kx, M = ТПГ Ai (в к1г + в "klZ) + U0(Kx, ку). (20)
Обратное преобразование Фурье. После обратного преобразования спектрального решения, полагая z=0, получим:
U1 =
tPi 2*г
1 1-^1 COS <М> COS(ky у) Qkx dky
(21)
Перейдем к полярной системе координат, обозначив:
kx = krcosk1,, Ky = кгзіпкф, dkxdky = krdkrdk(f, (22)
k,=kr, k2 = kry/a2cos2k, + sin2K,,
kx2 + ky2; k,=arctg-*;
Y(M =
y/e2cos2kv +sin2k^
K = K(K,),
(23)
2itr
2«
U^r.jp.O) =
1+-/ / A1cos(krrcos(k„-<p))dkrdk9
0 0
(24)
Первый предельный переход. Рассмотрим предельный случай перехода к изотропному основанию:
Y=1; K=K =
Pg-Pi .
P2+P1 '
(25)
U1 (г. ф, O)
JP1-2яг
(26)
1 + 2г/
Ke
-2к,н
о 1 - Ke
-2к,н
/ cos(krrcos(k,-<p)) с. я «
2л
dk..
dkr
Интеграл в круглых скобках (по <р) - это функция Бесселя J0(Аггг). Таким образом, окончательная формула имеет вид:
П2г[ Кв
о1-Ке~2*'
-Ukrr)dkr
(27)
Мы получили известное решение для изотропного основания, что говорит о вероятной правильности общего решения (24).
Продолжение преобразований для двухслойной анизотропной модели.
Введем замену:
ф = -^ + ф ; cos
Получим:
;(! + ф) = -8іп
Jp1 2лг
. 2л
и(Л<Р,0) =
1 +-Lf / A1(/rr,/r,)cos(/r/sin(;-^))^^, 71 о о
Воспользуемся тождеством:
