Электроразведка методом сопротивлений - Шевнин В.А.
ISBN 5-211-03303-5
Скачать (прямая ссылка):
NR
FC(P)=E
1=1
Pk1
Pk
obs
(28)
или логарифмическую невязку
NR
FC(P)=E(InPk10^-InPk11)2, <29>
где рк* и рк*** - теоретические и наблюденные значения рк для j-oro разноса; P=(In р„ In п,} - вектор логарифмов параметров разреза; NR - число разносов на кривой зондирования.
При малых невязках оба этих функционала совпадают.
Это следует из известного предела:
lim (In х)=х-1.
х-1
(30)
Рис.2.4.1. Идея метода наискорейшего спуска
Для расчета поправок применяются различные алгоритмы оптимизации. Наиболее распространенными являются два подхода - различные модификации метода наискорейшего спуска и метод Ньютона. При первом подходе мы линеаризируем функционал невязки (см. рис. 2.4.1).
Это делает алгоритм очень ррдо устойчивым, вследствие малых изменений параметров модели. Однако он медленно сходится при малых значениях невязки, т.к. в этой области не выполняется предположение о его линейности (см. рис.2.4.1).
Кроме того, при таком подходе большой проблемой являются локальные минимумы и седло-вые точки, т.е. точки, в которых все первые производные равны нулю, но не являющиеся точками минимума (см. рис.2.4.2).
Таким образом, при неудачном начальном приближении алгоритм может остановиться далеко от действительного решения (см. рис.2.4.3). В этом случае нужно вручную изменить модель и пустить автоматический подбор с новым начальным приближением. Вышеизложенное делает затруднительным использование метода наискорейшего спуска в программах автоматической интерпретации.
Идея метода Ньютона заключается в том что, в окрестности текущего приближения P0 прямая задача ВЭЗ заменяется вспомогательной линейной функцией: где NP - число подбираемых параметров; AP - поправка в пара-
Рис.2.4.2. Примерлокальноп псевдоминимума для функ ции двух переменных
-
Ss
1
_I I
—L III
П
-1_1_
I I I I
1111
Рнс.2.4.3. Пример остановка подбора в локальном минимуме
,n Pk1(P0 + Ap)*
¦п Pk1(Po)+5>Р,-г м Эр,
метр.
ФоомулГ™ Т„ Функционал логарифмической невязки (см. формулу 29). Условие минимума функционала FC(P) - равенство нулю частных производных по всем параметрам:
|^=0, m=1...NP. (32)
^АпТаВИМ ФУНКЦИЮ (31) В УРав"ение (29). Из условия (32) мы получим систему из АУР линейных уравнений.
NR Ліг, 1
ИМ Эр, dPm
(33)
m = 1...NP.
^ Эту систему уравнений можно переписать в матричном
FTFAp = FT(lnp7>b*-lnp'), (34)
где F - матрица частных производных Рк размером NP на NR:
с 3\np\
F"=-^T: (35)
j = 1...NR, i = 1...NP . Введя обозначения F1F=A и FTApK=b, получим:
AX = 6. <36>
Чтобы найти поправки в параметры, достаточно решить эту систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Но при этом возникают две проблемы, которые нужно рассмотреть более подробно.
Во-первых, нередко det А близок к нулю и вычисление обратной матрицы становится невозможным. Существуют различные способы преодоления проблемы инверсии матрицы. Наиболее распространены метод Маркуардта и метод псевдообращения или сингулярного разложения. Исходная матрица немного изменяется специальным образом, чтобы стало возможным ее обращение. И уже для новой матрицы ищется решение.
Во-вторых, сама линеаризация прямой задачи ВЭЗ (формула 31) правомерна только в ограниченной окрестности начального приближения. При плохом выборе начального приближения метод Ньютона дает слишком большие изменения параметров, и алгоритм расходится. Некоторые специалисты рекомендуют сначала использовать метод наискорейшего спуска, а затем для уточнения решения метод Ньютона. В этом случае возникает проблема когда и как перейти от одного алгоритма к другому.
А.А.Бобачев предложил решать систему уравнений итерационным методом Зей-деля. Такой подход позволяет достаточно просто преодолеть выше изложенные проблемы.
Идея этого метода i . х
показана на рис. 2.4.4. В ВХ = Ь - СХ А=В+С
качестве начального приближения к решению СЛАУ (36) Рис.2.4.4 Идея решения СЛАУ ме-логично использовать нуле- Т°Д°М Зеиделя
Ах = Ь
' 'la*
Скорость сходимости
5 10 15 20 25 номер итерации
вой вектор, т.к. из множества решений мы ищем решение достаточно близкое к начальной модели.
Доказано [11], что для симметричной и положительно определенной матрицы (матрица А именно такая, см. формулу 34) метод Зейделя сходится. Причем, как показывает практика, сходится очень быстро (для получения приемлемого решения обычно достаточно всего пяти итераций). Таким образом при использовании итерационного метода решения СЛАУ снимается -проблема инверсии матрицы.
Чтобы исключить возможность получения слишком больших поправок, в алгоритм Зейделя нужно добавить проверку на выход получаемого решения за Рис.2.4.5. Сравнение сходимости границы области линейности наискорейшего спуска и метода функции рк. Причем для Ньютона разных параметров эти ограничения могут быть различными, т.к. очевидно, что область линейности для сопротивлений слоев значительно шире, чем для мощностей. Введя правильные ограничения, мы как бы подталкиваем алгоритм к изменению, главным образом, сопротивлений. Позднее можно выбрать из области эквивалентности нужное решение.
