Моделирование в картографии - Тикунов В.C.
ISBN 5-211-03346-9
Скачать (прямая ссылка):
167
Рис. 44. Распространение эпидемии из Лондона между городами Великобритании. Толщина линий в ступенчатой шкале передает этапность распространения эпидемии
ными городами: Лондон — Бирмингем — Манчестер — Шеффилд — Лидс — Брадфорд, с последующим распространением эпидемии от них к более мелким.
В некоторых случаях для моделирования пространственного распространения явлении вместо обобщенной модели (формула (2.2)) можно использовать эмпирические формулы миграций, что, например, показано при моделировании притока абитуриентов в вузы (Свентэк, 1971; Тикунов, 1983а, 19856; McConnell, 1965). Собрав определенный фактический материал для того или иного вида миграции и убедившись, что эмпирические формулы, их описывающие, достоверны, в последующем открывается возможность использовать их как стандартные формулы для тех или иных территорий с целью прогнозирования объемов миграций на основе достаточно общих и легкодоступных сведений. Отчасти поэтому же к вышеописанному эксперименту по моделированию этапности распространения эпидемии следует относиться как к методическому примеру. Если вместо уравнения (2.2) использовать эмпирические зависимости, то это, несомненно, повысит достоверность моделирования.
Проведенный эксперимент по имитации распространения эпидемии между городами правильно передает скачкообразность характера их распространения из очага. В этом случае возможно распространение эпидемии в более удаленный от источника пункт с последующим ее появлением в близлежащих пунктах и т.д. Однако разработанная модель в явном виде не имитирует вероятностный характер распространения эпидемий, поэтому в продолжение данного эксперимента нами осуществлена работа по их моделированию с использованием метода Монте-Карло.
IV, 1.2. Стохастическое моделирование пространственного распространения явлений
В качестве конкретного примера, иллюстрирующего методику моделирования пространственно-временного развития явлений, выбрана имитация развития эпидемий с использованием метода Монте-Карло (Петров, Тикунов, 1986).
Вкратце метод Монте-Карло заключается в следующем. Исследуемое явление представляется как некая абстрактная система, которая может находиться в нескольких различных состояниях. При этом считается, что нахождение системы в каком-либо из состояний слу
169
чайно и вероятность этого факта подчиняется определенному закону распределения, который характеризует как саму систему, так и связи между различными ее состояниями. С помощью таблиц случайных чисел или датчиков псевдослучайных величин моделируются конкретные реализации состояний для исследуемой системы. Обрабатывая полученную таким образом информацию о системе методами математической статистики, получают требуемые численные результаты. Элементарное изложение данного метода дано в работе (Нивер-гельт, Фаррар, Рейнголд, 1977).
В нашем эксперименте применялась стохастическая пространственно-временная модель распространения явлений эпидемического типа, т.е. без учета конкретного вида эпидемий, имеющих свои особенности течения эпидемического процесса. Таким образом, целью исследования было моделирование развития эпидемии на конкретной территории, но при ряде условных допущений, без учета того, что каждая эпидемическая форма болезни характеризуется своими, только присущими ей закономерностями течения эпидемического процесса, своими особенностями распространения среди различных возрастных и профессиональных групп населения и др. Иными словами, моделируется некоторая абстрактная форма эпидемии. Методическим основанием работы послужили уже проведенные исследования, подробно рассмотренные в работах (Бейли, 1970; Драмович, 1979). В кратком изложении их результаты сводятся к следующему.
Территория, изображенная на карте, для которой моделируется пространственное распространение эпидемии, разбивается на ряд территориальных единиц, размеры которых существенно меньше размеров исходной территории. Население каждой территориальной единицы делится на три группы: А — восприимчивые к инфекции, В — носители инфекции, С — выбывшие, т.е. переболевшие, умершие и т.д., а также иные лица, удаленные из процесса.
В классической модели эпидемии Кендалла (Бейли, 1970; Драмович, 1979) взаимодействие между вышеперечисленными группами населения в конкретной территориальной единице и между населением прочих единиц описывается системой из трех обыкновенных дифференциальных уравнений следующего вида:
dxt(t)
= - ?a xt(t) yt(t)
(4.1)
dt
dyt(t)
= ?° xi(f) J/(0 ~~ у .V/CO'
(4.2)
dt
170
(4.3)
где хi(t), yi(t), zt(t) — относительные частоты групп населения А, В, С,
соответственно находящихся в z-й территориальной единице в момент времени t, причем xt(t) + yt(t) + zt(t) = 1 для любой z-й единицы и любого t; ? — частота случаев заражения; у — частота случаев удаления; а — плотность населения; yt(t) — среднее значение yt(t), взвешенное по территории. Среднюю взвешенную вычисляют по формуле
Aijyj(t)dS, (4.4)
где yi(t) — доля носителей среди жителей ;-й территориальной единицы в момент времени t; Хц — неотрицательный весовой коэффициент, показывающий влияние носителей инфекции из у-й единицы на восприимчивых лиц, находящихся в z-й территориальной
