Энциклопедия практической электроники - Рутледж Д.
ISBN 5-94074-096-0
Скачать (прямая ссылка):
4.2. Уравнение телеграфии
Рассмотрим линию передачи, состоящую из двух параллельных проводников с неизменяющимся поперечным сечейием. Предполагается, что они имеют достаточную длину для того, чтобы процессы, происходящие на их концах, не влияли на результаты проводимого анализа. При этом ограничения на тип линии передачи, которая может быть выполнена в виде двух смежных проводов или коаксиальных кабелей, отсутствуют. Проводники не должны касаться один другого, иначе их надо рассматривать в качестве одного проводника. Для проведения анализа вся линия передачи условно разделяется на небольшие участки длиной 1 каждый (рис. 4.2а).
Каждый из элементов разбиения 1 линии передачи обладает собственной индуктивностью L1 и емкостью С,. Таким образом, линию передачи можно изобразить в виде многозвенной эквивалентной схемы (рис. 4.26). В этой схеме можно
і. I1I
і і
а) б) Рис. 4.2. Линия передачи для расчета уравнения телеграфии. Разбиение линии передачи на участки длиной I (а), представление линии передачи как многозвенной цепи катушек индуктивности и конденсаторов (б) _-____
Vn
I_I_L
4.2. УРАВНЕНИЕ ТЕЛЕГРАФИИ [W]
определить токи и напряжения. Падение напряжения на катушке индуктивности (n + 1) будет вычисляться по формуле:
Un+1-Un=-L1 % (4.1)
dt
а ток, протекающий через конденсатор (n + 1), можно записать как:
In+1-In= "С, ^ (4.2)
dt
При анализе эквивалентной схемы линии передачи подразумевалось, что численные значения индуктивности и емкости участка 1 (рис. 4.2) пропорциональны его длине. Справедливость данного предложения поможет доказать теория электромагнитного поля. Если индуктивность и емкость пропорциональны длине, можно ввести коэффициенты LhC, которые являются коэффициентами пропорциональности:
L = Y : (4.3)
C = ^ (4.4)
Коэффициенты LhC- распределенная индуктивность и распределенная емкость - важнейшие параметры, характеризующие линию передачи. Численные величины LhC определяются видом линии передачи и диэлектрической и магнитной проницаемостью изолирующего материала. Единицей измерения распределенной индуктивности является генри на метр (Гн/м), а единицей измерения распределенной емкости - фарада на метр (Ф/м). С учетом коэффициентов L и С уравнения 4.1 и 4.2 можно представить в следующем виде:
1 dt
Li" L. = _с JLLl (4.6)
1 dt
Переходя к пределам при стремлении 1 к нулю, левая часть уравнений 4.5 и 4.6 превращается в производную по длине. Таким образом, данные выражения описываются частными производными, которые принято обозначать буквой « Э ». Необходимо учитывать, что электрические ток и напряжение являются производными времени. Заменив переменную по длине 1 на переменную z, запишем:
?-4 <4-7>
dz dt
г=-с^ <48>
dz dt
Формулы 4.7 и 4.8 в науке известны как уравнения телеграфии, или уравнения линии передачи. Они были выведены Оливером Хэвисайдом (Oliver Heaviside) более
ГЇ04І 4. ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ
ста лет назад и до сих пор играют важную роль в науке и практике. Такие уравнения описывают распространение не только радиоволн, но и световых, звуковых и тепловых волн. Поняв, как эти уравнения используются при расчетах, можно решить самые разные задачи.
На основе уравнения телеграфии можно вывести волновое уравнение, дифференцируя формулу 4.7 по переменной z, а формулу 4.8 - по переменной t:
(4.9)
8z2 3t3z
!Hf
Подставив уравнение 4.10 в уравнение 4.9, можно записать волновое уравнение для напряжения в следующем виде: 82U T^82U
87 = LC1F (4Л1)
4.3. Электромагнитные волны
Электромагнитными волнами называется распространяющееся в пространстве (среде) переменное электромагнитное поле. В упрощенном виде электромагнитную волну можно представить так: U(z - vt), где U - амплитуда фронта электромагнитной волны. Предположим, что U - импульсная функция, и это одиночный импульс с амплитудой, изменяющейся по нормальному закону. Предположим также, что в момент времени t = 0 максимум электромагнитной волны импульса находится в точке z = 0 (рис. 4.3а). При распространении волны одиночного импульса U(z - vt) в линии передачи из точки z = 0 вправо в момент времени t = ^ электромагнитная волна импульса пройдет расстояние Vt0 и максимум импульса окажется в точке z = Vt0 (рис. 4.36).
Z = O z = 0 Z = (Zt0
а) б) Рис. 4.3. Распространение фронта электромагнитной волны вида U(z - vt) в линии передачи. В момент времени t = 0 максимальное значение находится в точке Z = O (а); за период времени t = t0 волна сместилась вправо на расстояние z = vtQ (б)__
Если фронт волны сместился вправо (по направлению стрелки), то он двигался в прямом (положительном) направлении +z. С учетом принятых допущений такая волна, а именно U(z - vt), называется прямой. Для обратной волны, то есть волны, распространяющейся в обратном направлении (-z), импульсная функция имеет вид U(z + vt).
4.3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ ЩЩ
В линии передачи одновременно могут присутствовать как прямая, так и обратная волны. Последняя обычно возникает из-за отражения электромагнитной энергии в нагрузке.
