Электротехника и электроника. - Немцов М.В.
Скачать (прямая ссылка):
При этом математические формулировки методов расчета цепей постоянного тока остаются справедливыми и для расчета цепей синусоидального тока. Нужно только все ЭДС, напряжения и токи заменить комплексными значениями соответствующих синусоидальных величин, а сопротивления элементов — комплексными сопротивлениями.
В дальнейшем для понятий комплексные значения ЭДС, напряжения, тока и т.д., а также соответствующих им векторов комплексных значений будем использовать сокращенные термины, например комплексный ток или ток.
4.9. Электрическая цепь с последовательным соединением элементов
Рассмотрим общий, а затем — частные случаи цепи с последовательным соединением элементов, т.е. неразветвленной цепи. Цепь с последовательным соединением элементов R, L и С
(рис. 4.20). В цепи с последовательным соединением элементов при действии источника синусоидальной ЭДС е= Emsin((ut + уе) ток также синусоидальный /= /msin(ctf+ у,) и напряжения на резистивном, индуктивном и емкостном элементах равны
Ur= ^Sm(CO/+ yuR); uL= ULmsm((ot + yuL); ис= [/Cmsm((ot+yuC).
Для расчета режима работы цепи комплексным методом представим все синусоидальные величины соответствующими комплексными по (4.8):
Ё = EZyе; І = IZyr, V = URZyuR; UL =ULZyuL; Uc = UcZyuC. 92
На рис. 4.20 стрелками показаны положительные направления тока, ЭДС и напряжений. Выберем направление обхода контура и запишем уравнение по второму закону Кирхгофа (4.27):
UL+UR+Uc=j<uU + Ri-j — I = E. (4.28)
Здесь учтен закон Ома для резистивного (4.16), индуктивного (4.19) и емкостного (4.22) элементов.
Из (4.28) найдем комплексный ток в цепи
R + y(coL-l/coC)'
или
U
R + y(coL-l/coC)'
(4.29)
где U = UeJw" = Ё = Eej4e — напряжение между выводами источника и пассивного участка.
Величина, стоящая в знаменателе выражения для комплексного тока (4.29), называется комплексным сопротивлением неразветв-ленного участка цепи:
Z= R +j(<aL - 1/соС) = R +j(XL - Хс).
(4.30)
Величина, обратная комплексному сопротивлению, называется комплексной проводимостью:
Y= 1/Z
Обозначения комплексных сопротивлений и проводимости отличаются от обозначений комплексных значений тока и напряжения потому, что вторым соответствуют физические величины, изменяющиеся во времени, а первым — нет.
Каждому значению комплексного сопротивления Z как комплексному числу соответствует точка на комплексной плоскости. Ее положение определяется вектором на комплексной плоскости (рис. 4.21). Этот вектор является геометрической интерпретацией комплексного сопротивления и имеет такое же обозначение Z. Слагаемые комплексного сопротивления изображены на рис. 4.21 также в виде векторов для двух случаев: X1 > Хс (рис. 4.21, а) и XL<ХС (рис. 4.21, б). Геометрическая интерпретация
Рис. 4.20
93
Xl>*c
-jXc JXl
1
a
Xl < Xc
JXl -
1
-jXc
Z4S4
Рис. 4.21
комплексного сопротивления позволяет легко перейти от алгебраической формы записи комплексного сопротивления (4.30) к тригонометрической и показательной формам
(4.31)
Z=-Z cos(p + /Z sin ф; I Z = Ze^ = ZZ(p,
где Z = \Z\ = л]R2 + (X1 - Xс)2 — модуль комплексного сопротивления, или полное сопротивление, единица измерения которого
X1 -Xr
Ом; ф= arctg:
R
аргумент комплексного сопротивления.
В зависимости от знака величины (X1 - Хс) аргумент комплексного сопротивления может быть либо положительным (ф > 0 — индуктивный характер комплексного сопротивления, как на рис. 4.21, а), либо отрицательным (ф<0 — емкостный характер комплексного сопротивления, как на рис. 4.21, б), но всегда |ф|<п/2.
Подставив значение комплексного сопротивления в показательной форме в (4.29), получим выражение закона Ома для неразветвленной цепи:
І = — = —eJlVe-<?) Z Z
или
Z Z
(4.32)
где /= UfZ- действующее значение тока; *|/, =\|/„-ф — начальная фаза тока.
При известном комплексном токе в цепи комплексные напряжения на резистивном, индуктивном и емкостном элементах рассчитываются соответственно по формулам (4.16), (4.19) и (4.22).
На рис. 4.22 приведены векторные диаграммы тока и напряжений неразветвленной цепи (см. рис. 4.20) для двух случаев: X1 > Хс
94
О 10 1
а б
Рис. 4.22
(рис. 4.22, а) и XL<Хс (рис. 4.22, б) при одинаковом напряжении U = UZx\iu.
Если комплексное сопротивление цепи имеет индуктивный характер, то ток в цепи отстает по фазе от напряжения, так как угол ф>0 (см. рис. 4.21, а) и по (4.32) \|/,<\|/и. Если комплексное сопротивление цепи имеет емкостный характер, то ток в цепи опережает по фазе напряжение, так как угол ф< 0 (см. рис. 4.21, б) и по (4.32) \|/,->\|/„. На векторной диаграмме положительное (отрицательное) значение угла ф отсчитывается против направления (по направлению) движения часовой стрелки от вектора комплексного значения тока І.
Цепь с последовательным соединением элементов RnL (рис. 4.23). В цепи с последовательным соединением резистивного и индуктивного элементов (рис. 4.23, а) выражения (4.28) и (4.30) принимают вид
UR+UL=Ri + jXLi = U = E; Z = R + jXL,
которым соответствуют на векторных диаграммах прямоугольные треугольники напряжений и сопротивлений (рис. 4.23, би в).
