Электротехника и электроника. - Немцов М.В.
Скачать (прямая ссылка):
Z1 = 4, sin (cor+ у,,); /2 = 42sin(cor + \j/,2); /3 = 43sin(cor + \|/;3)
87
»Ь '2, 'З
Рис. 4.15
по первому закону Кирхгофа для любого момента времени
3
X »* =_/1 - f2 + Ь =0-
к=\
Представив все синусоидальные токи в (4.23) соответствующими им комплексными значениями по (4.8) lk = IkZ.\yik, получим первый закон Кирхгофа в комплексной форме.
к=\
о.
(4.24)
т. е. алгебраическая сумма комплексных значений токов в любом узле цепи синусоидального тока равна нулю. Здесь комплексные значения токов, для которых положительные направления выбраны к узлу (от узла), записываются со знаком минус (плюс).
Например, для узла на рис. 4.16 и комплексных значений токов
U = Л^ViI; h = h*Vn\ h = Ii^Vn по первому закону Кирхгофа
th =-/,-/2 + /3=0.
к=\
Второй закон Кирхгофа. По второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений всех участков любого контура электрической цепи в каждый момент времени равна нулю:
*=1 к=\
(4.25)
где напряжения, положительные направления которых совпадают (противоположны) с произвольно выбранным направлением обхода контура, записываются со знаком плюс (минус); т — число участков; к — порядковый номер участка.
Для контура схемы цепи, содержащего только пассивные элементы (резистивные, индуктивные, емкостные) и источники ЭДС, в каждый момент времени алгебраическая сум-Рис. 4.16 ма напряжений на пассивных элемен-
0
1
88
max контура равна алгебраической сумме ЭДС, т.е. второй закон Кирхгофа принимает вид
Xй* = ї>*.
A=I A=I
(4.26)
или
X ^7'/* Sln (°3'' + V«A ) = X 7^A Sln (И* + V«* )'
A=I A=I
где пит — числа пассивных элементов и источников ЭДС в контуре.
В выражении (4.26) напряжения ик и ЭДС ек, для которых положительные направления совпадают (противоположны) с произвольно выбранным направлением обхода контура, записываются со знаком плюс (минус).
Например, на схеме цепи (рис. 4.17) для контура / по (4.25)
U1-U2-U3 + U4 = О,
для контура 2 по (4.26)
Ur-U1 = ех-еъ
Представив все синусоидальные величины в (4.25) и (4.26) соответствующими им комплексными значениями по (4.8):
(Jк = UkZx\iuk и Ёк = EkZMiek, получим второй закон Кирхгофа в комплексной форме
Х#*=0;
п т
10к = Х4-
A=I A=I
В уравнениях (4.27) со знаком плюс (минус) записываются комплексные значения напряжений и ЭДС, положительные направления которых совпадают (противоположны) с произвольно выбранным направлением обхода контура. Например, для выбранных на схеме цепи (рис. 4.18, а) контуров 7 и 2 по (4.27)
U1
U2-U3+U4=O;
k3
U4
ovo
(4.27)
!"і
I
U2^
/
Рис/4.17
89
\
а
б
Рис. 4.18
U1
r
-UL= E1-E2.
Те же контуры / и 2 показаны на схеме цепи с синусоидальными величинами (см. рис. 4.17).
На рис. 4.18, б построена векторная диаграмма ЭДС и напряжений контура 2, которая наглядно иллюстрирует второй закон Кирхгофа в комплексной форме.
Пример 4.3. В схеме цепи синусоидального тока на рис. 4.19, а с помощью амперметров измеряются действующие значения токов в ветвях. Определить показание амперметра A1, если показания амперметров Ax и A2 равны 3 А и 4 А.
Решение. Напряжение U00 по фазе совпадает с током в резистивном элементе /д и опережает на угол л/2 ток в индуктивном элементе ІL (рис. 4.19, б). Сумма векторов комплексных значений токов /„ и І\ по первому закону Кирхгофа для узла а (4.24) определяет вектор комплексного значения тока / = ІR + fL. Модуль вектора тока / по теореме Пифагора определяет показание амперметра Аъ:
а
б
Рис. 4.19
90
4.8. Комплексный метод расчета цепей синусоидального тока
Комплексный метод расчета цепи синусоидального тока заключается в следующем.
1. Представляем исходные данные о параметрах всех элементов цепи в комплексной форме, т.е. синусоидальные ЭДС источников напряжения и токи источников тока, заданных мгновенными значениями (в тригонометрической форме), индуктивные и емкостные элементы цепи соответствующими им комплексными значениями (табл. 4.1) и комплексными сопротивлениями или прово-димостями (табл. 4.2).
Табл ица 4.1
Представление синусоидальных ЭДС и токов источников комплексными
значениями
Источник Мгновенное значение Комплексное значение Условное обозначение
ЭДС е= En, sin((o/ + \\ie) F ? - ZHL еЛ<е л/2
Тока /(/*) = /„, sin ((Ot + \\lj) л/2 *>Ф
Таблица 4.2
Комплексные сопротивления и проводимости пассивных элементов
Элемент Параметр Комплексное Комплексная
сопротивление проводимость
Резистивный R R 1/R=G
Индуктивный L j(uL =jXL l/j(»L = -jBL
Емкостной С j(oC J(OC=JBc
91
2. Выбираем положительные направления комплексных токов во всех ветвях и указываем их стрелками на схеме цепи.
3. По законам Ома и Кирхгофа в комплексной форме составляем систему уравнений, определяющую режим работы цепи.
4. Решаем полученную систему уравнений и определяем комплексные значения токов в ветвях цепи и напряжений на еехэле-ментах.
5. По найденным комплексным значениям токов и напряжений определяем соответствующие им мгновенные значения синусоидальных токов и напряжений.
Для упрощения вычислений при расчете линейных цепей синусоидального тока, так же как и линейных цепей постоянного тока, применимы различные расчетные методы: преобразования схем (см. подразд. 2.10), узловых потенциалов (см. под-разд. 2.11), контурных токов (см. подразд. 2.12), наложения (см. подразд. 2.13).
