Электротехника и электроника. - Немцов М.В.
Скачать (прямая ссылка):
k = ^mSin(tO/-+\J/(),
то по закону электромагнитной индукции (3.21) напряжение на индуктивном элементе
uL = -eL = LdiL/dt= col/^cos (со/+ у,) = = tVtmsin (tor+ у,- + л/2) = ишьт(аа + \уи),
где амплитуды напряжения и тока и их начальные фазы связаны соотношениями
U
Lm
coZ/
Wu = V,- + я/2.
(4.17)
Разделив правую и левую части первого уравнения в (4.17) на л/2, получим соотношение для действующих значений напряжения и тока индуктивного элемента:
Ul = (oLIl = XlIl.
(4.18)
Величина Xl = (SjL в выражении (4.18), единица измерения которой Ом, называется индуктивным сопротивлением, а обратная ей величина Bl = 1/(oL, единица измерения которой Ом-1 = См, — индуктивной проводимостью. Величины X1 и B1 — параметры индуктивных элементов цепей синусоидального тока.
На рис. 4.11 показан график мгновенных значений синусоидальных тока и напряжения индуктивного элемента (построен при \|/, > 0), из которого видно, что синусоидальный ток іL отстает по фазе от синусоидального напряжения uL на угол ф = - \(/,¦, = к/2.
Представим синусоидальные ток iL и напряжение uL индуктивного элемента соответствующими комплексными значениями:
iL = ILzWi и UL=ULejv".
84
о
і
і
Ф = л/2
О
Рис. 4.11
Рис. 4.12
На рис. 4.12 приведена векторная диаграмма индуктивного элемента и показано, что вектор комплексного значения тока I1 отстает по фазе от вектора комплексного значения напряжения UL на угол л/2. Пользуясь соотношениями (4.18) и (4.13), получим закон Ома в комплексной форме для индуктивного элемента:
Величина jab= jXL в выражении (4.19) называется комплексным сопротивлением индуктивного элемента, а обратная ей величина 1 /Ja)L = -jBL — комплексной проводимостью индуктивного элемента.
Емкостный элемент. Если напряжение между выводами емкостного элемента изменяется синусоидально:
Uc= U0nsm (cat+у и),
то по (1.13) ток в емкостном элементе
і с = Cduc/dt = (0CU0nCOs ((at + \уи) = I0n sin (со/ + \уи + л/2) = = /c„,sin(co/+\|/,),
где амплитуды напряжения и тока и их начальные фазы связаны соотношениями
Разделив правую и левые части первого уравнения в (4.20) на л/2, получим соотношение для действующих значений напряжения и тока емкостного элемента:
UL = (uLILew» = (uLI Lcj^i+nl2\
или
UL=j(uLIL=jXLIL.
(4.19)
(4.20)
85
Uс--^r7C - Хс^с-
(4.21)
со
Величина Хс = 1/соС в выражении (4.21), единица измерения которой Ом, называется емкостным сопротивлением, а обратная ей величина Вс = соС, единица измерения которой Ом-1 = См, — емкостной проводимостью. Величины Хс и Вс — параметры емкостных элементов цепей синусоидального тока.
В противоположность индуктивному сопротивлению емкостное сопротивление уменьшается с увеличением частоты синусоидального тока и при постоянном напряжении бесконечно велико.
На рис. 4.13 показан график мгновенных значений синусоидальных напряжения и тока емкостного элемента (построен при \\fu > 0), из которого видно, что синусоидальное напряжение ис отстает по фазе от синусоидального тока іс на угол - = к/2, т.е. смещение по фазе между напряжением и током ф =\|/„- \|/( =
Представим синусоидальные ток ic и напряжение ис емкостного элемента соответствующими комплексными значениями:
На рис. 4.14 приведена векторная диаграмма емкостного элемента и показано, что вектор комплексного значения напряжения Uc отстает по фазе от вектора комплексного значения тока /с на угол к/2.
Учитывая (4.21) и (4.13), получаем закон Ома в комплексной форме для емкостного элемента:
= -к/2.
1С = /сЄлі и Uс = Ucc*».
і
I 0
Ф = -я/2уи>0
О
Рис. 4.13
Рис. 4.14
86
или
Vc=^~p;ic=-JXcic- (4-22)
усоС
Величина l/j(uC=-jXcB выражении (4.22) называется комплексным сопротивлением емкостного элемента, а обратная ей величина ja>C=jBc — комплексной проводимостью емкостного элемента.
Пример 4.2. Синусоидальные напряжения на индуктивном и емкостном элементах имеют действующие значения UL = 10 Ви Uc= 20 В при частоте/= 104 Гц. Определить действующие значения токов в индуктивном и емкостном элементах при значениях их параметров L = 10"4 Гн и C= 10"6 Ф.
Решение. Сопротивления индуктивного и емкостного элементов в цепи синусоидального тока по (4.18) и (4.21) равны
XL = (aL = 2nfL = 2-3,U- 104- 10^ = 6,28 Ом; Хс= 1/соС= 1/(2тс/С) =1/(2 3,14 104 • 10"6) = 15,9 Ом.
Действующие значения синусоидальных токов в индуктивном и емкостном элементах по (4.18) и (4.21) равны
4=^/^=10/6,28=1,59 А; Ic = UdXc = 20/15,9 = 1,26 А.
4.7. Первый и второй законы Кирхгофа в комплексной форме
Математическая формулировка законов Кирхгофа для цепей синусоидального тока зависит от выбранного способа представления синусоидальных величин.
Первый закон Кирхгофа. По первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи в каждый момент времени равна нулю:
и и
X 4 = X 1H* sin И+у* ) = °» (4-23)
где п — число ветвей, сходящихся в узле; к — порядковый номер ветви.
В дальнейшем все синусоидальные токи, положительные направления которых выбраны к узлу (от узла), будем записывать со знаком минус (плюс). Например, для узла на рис. 4.15 и мгновенных значений синусоидальных токов
